Свойства определителей
ЛЕКЦИЯ 12
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определители
Рассмотрим множество, состоящее из натуральных чисел 
. Будем обозначать перестановки этих чисел (то есть последовательную их запись в некотором порядке без повторений) как 
. Напомним, что полное число таких различных перестановок равно n!.
Определение. Будем говорить, что числа 
и 
образуют в перестановке беспорядок (нарушение порядка, или инверсию), если при 
имеет место 
.
Полное число беспорядков в перестановке 
будем обозначать 
. Например, 
.
Пусть дана квадратная матрица
Определение. Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 
размера 
называется число 
, получаемое по формуле
,
где 
– всевозможные различные перестановки, образованные из номеров столбцов матрицы 
.
Замечание. Поскольку в данном определении указано, что сумма берется по всем возможным различным перестановкам, то число слагаемых равно n!.
Замечание. Из определения детерминанта вытекает, что каждое слагаемое содержит в качестве сомножителя по одному элементу матрицы из каждого столбца и каждой строки.
Свойства определителей
Теорема 12.1 При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
Доказательство.
Общий вид слагаемого в формуле определителя транспонированной матрицы
Будет
но, учитывая, что 
, получим
.
Упорядочим сомножители каждого слагаемого по номерам строк, то есть приведем их к виду
,
где 
– номера строк, а 
– номера соответствующих столбцов. Отметим, что для введенных обозначений имеет место очевидное равенство: 
и при выполненном изменении порядка сомножителей для каждого слагаемого в формуле определителя будет иметь место равенство
.
Действительно, пусть 
и 
дают беспорядок, то есть 
при 
, тогда дают беспорядок и числа 
и 
, поскольку 
, и, значит, будет справедливо неравенство 
при 
.
Верно и обратное утверждение.
Окончательно получаем
.
Теорема доказана.
Следствие. Всякое свойство определителя матрицы, сформулированное для ее столбцов, справедливо для ее строк, и наоборот.
Теорема 12.2 При перестановке двух столбцов матрицы знак ее определителя меняется на противоположный.
Доказательство.
Рассмотрим вначале случай, когда переставляются соседние столбцы. Поскольку общий вид слагаемых в выражении для определителя дается формулой
,
то достаточно показать, что число беспорядков изменится при перестановке соседних столбцов на единицу.
Рассмотрим перестановку чисел
.
Если в ней поменять местами числа ki и ki+1, то число беспорядков, образуемых числами 
, останется прежним, а за счет изменения порядка следования чисел 
и 
общее число беспорядков изменится на единицу. Это означает, что знак каждого слагаемого в формуле определителя изменится на противоположный и, следовательно, изменит знак и весь определитель.
Наконец, если требуется поменять местами столбцы, между которыми находится l столбцов, то для этого потребуется l+l+1 перестановок соседних столбцов, но поскольку 
, то знак определителя изменится на противоположный.
Теорема доказана.
Следствие. Определитель матрицы, содержащей два одинаковых столбца, равен нулю.
Доказательство.
При перестановке одинаковых столбцов значение определителя, с одной стороны, не меняется, но, с другой стороны, это значение должно изменить знак. Поэтому данный определитель может равняться только нулю.
Следствие доказано.
Теорема 12.3 (линейное свойство определителя)Если k-й столбец матрицы задан в виде линейной комбинации столбцов, то ее определитель представим в виде линейной комбинации определителей матриц, k-ми столбцами которых являются соответствующие столбцы линейной комбинации.
Следствие. При вычислении определителя из столбца матрицы можно выносить общий множитель.
Следствие. Если к некоторому столбцу матрицы прибавить линейную комбинацию остальных ее столбцов, то определитель не изменится.