Детерминированный Хаос

Последствия этого открытия были революционными. Представьте себе, что поверхность Земли покрыта сетью метеостанций с трехдесятичной точностью, находящихся только в 30 см друг от друга, посылающих свои измерения в центральный компьютер каждую минуту. И предположите, что этот компьютер достаточно большой, чтобы вместить в себя совершенно правильную модель глобальных погодных моделей. Если бы даже и было так, то надежный прогноз погоды на месяц вперед сделать просто невозможно. Как раз вопреки своим первоначальным намерениям и ко всеобщему удивлению, Лоренц смог доказать, что невозможно и никогда не будет возможно давать долгосрочные прогнозы погоды.

Эффект бабочки — один из элементов системы математических феноменов, с тех пор обобщенно названных термином «детерминированный хаос». Этот феномен охарактеризован Чера Л. Сайерсом следующим образом (1989): «Процесс характеризуется детерминированным хаосом, если он генерирован полностью детерминированной системой[5], возникающей как результат беспорядочно функционирующих рядов в стандартных временных диапазонах». Нас окружает хаос. Представим себе дымок сигареты в тихой комнате. Тысячи микроскопических частиц дыма поднимаются узкой колонкой, подталкиваемые горячим воздушным потоком. Затем внезапно колонка прерывается, заменившись турбулентными, постоянно меняющимися завихрениями дыма. Линейный поток трансформировался в хаос. И это происходит независимо от того, где вы находитесь. Или рассмотрим игру в футбол. Ни один, даже самый проницательный эксперт не сможет предугадать, где мяч окажется всего лишь через 10 секунд.

Хаос наступает главным образом в отношениях, где присутствуют самопроизвольные усиливающиеся механизмы. Вообразите себе систему, в которой событие «А» приводит к событию «В», а событие «В» к событию «С». Если событие «С» затем воспроизводит событие «А», тогда в этом процессе есть простая цепь положительной обратной связи.

Если мы попытаемся наметить в общих чертах взаимоотношения в экономике страны, как если бы это была метеорология, то вскоре столкнемся со сложными вариантами этих механизмов. Среди хорошо известных примеров есть так называемые эффекты мультипликации и акселерации, тезаврирование, самопроизвольное усиление ожиданий роста («держаться наравне с Джонесесом»), увеличение потребностей в капитале из-за смещений во взаимоотношениях труда и капитала и т. д., — все вместе эти многочисленные цепочки обратных связей могут означать, что системы имеют не просто равновесие, а сами себя раскачивают или демонстрируют иные сложные движения. Каждая из этих положительно воздействующих цепей обратных связей может вносить свой вклад в самопроизвольно усиливающую природу экономического феномена, пока окончательно не будет заторможена другими механизмами. Чтобы правильно описать эти системы, необходимо применить нелинейную математику.

Непредсказуемость, это как Эндогенное Свойство

Тем не менее экономическое моделирование традиционно строится на линейных моделях, основанных на функции равновесия. Эти модели показывают, как все элементы экономики непрерывно адаптируются ко всем другим элементам, но без каких-либо корректных оговорок, сделанных одновременно для многих положительных обратных связей. Когда контуры обратной связи объединяются, в основном, это бывают отрицательные, дестабилизирующие цепочки, то есть это вовсе не ведущие к устойчивости положительные контуры. Эти модели на практике функционируют очень вяло, что традиционно объясняется «стохастическими внешними беспокойствами», а также отсутствием точности в деталях модели.

По этой причине результаты первых нелинейных компьютерных моделирований стали сильным шоком для всего академического мира. Внезапно все осознали, что линейные модели не только несовершенные, но и могут быть абсолютно неверными.

Но самое важное заключалось в том, что даже теоретически правильные нелинейные модели могли привести к полной непредсказуемости, хотя они были детерминированными и структурированными по своему характеру. Это означает, что системы нарушались стохастическими внешними неупорядоченностями и непредсказуемость могла быть элементом собственной эндогенной природы макроэкономических систем. Как это может проявляться, показывает, например, феномен, называемый «раздвоение».

Тайна Роберта Мэя

Одним из первых, описавшим раздвоения, был австралийский биолог Роберт Мэй. В начале 70-х гг. Мэй разработал математическую модель развития в популяции рыб. Когда он вводил наименьшие значения для одной из переменных формулы — тренда репродукции рыб, — модель показывала определенную экологическую точку равновесия для определенных размеров популяции. Если популяция с самого начала находилась за пределами этой точки равновесия, она постепенно могла вернуться к этой точке посредством «подавляющих осцилляций». Этот результат был именно таким, каким и должен быть. Однако если Мэй вводил наивысшие значения, то размер популяции начинал постоянно колебаться то вверх, то вниз и никогда не мог достичь устойчивости. Таким образом, модель при отличающихся вводных данных демонстрировала прогнозы абсолютно разного характера: она демонстрировала хаос.

Он нашел, что это очень загадочное явление, и стал изучать финальную модель для всех значений репродуктивного тренда. Результат оказался поразительным. При самых минимальных значениях популяция рыб естественным образом приходила к вымиранию. Если Мэй увеличивал значение репродуктивного тренда до определенного уровня, популяция могла выжить, и плавная кривая отражала ее уровни равновесия: чем выше значение репродуктивного тренда, тем сильнее оказывалась равновесная популяция.

Но он обнаружил, что на определенном уровне плавная кривая неожиданно раздваивалась на две части. Это означало, что популяция могла колебаться между двумя различными уровнями равновесия. Такое явление названо «раздвоением» и полностью противоречило традиционным представлениям. После того как Мэй еще больше увеличил величину репродуктивного тренда, картина стала еще более странной: два уровня равновесия перешли уже в 4, затем в 8, 16, 32 и в конце концов привели к хаосу.

Явление раздвоения имеет место не только в экологических моделях. В статье 1964 года «Проблема вывода климата из основного уравнения»[6], в Tellus, Лоренц представил теорию существования более чем одного равновесного климата для Земли. Факт состоял и состоит в том, что математические модели метеорологов изредка имеют возобновляющуюся тенденцию, внезапно начинающую колебаться от сегодняшнего климата до всемирного обледенения, — состояния, несомненно, такого же устойчивого, как и современная ситуация. Лоренц определял систему, обладающую более чем одним устойчивым состоянием равновесия, как «непереходную». Если он был прав, то известный ледниковый период мог быть последствием раздвоений или проявлением непереходных свойств, содержащихся в принадлежащей Богу формуле. Интересная мысль…

Причина раздвоений в том, что существует внезапное и существенное изменение в преобладании различных контуров положительно воздействующих обратных связей. Возвращаясь к экономическим системам, подобная теоретическая структура выдвинута ученым Эрвином Лазло в 1987, который разделил параметры, способные воздействовать на преобладание тех или иных контуров в экономических системах, на три категории:

• Технологические инновации

• Конфликты и завоевания

• Дисбаланс социального и экономического характера, а именно: дефицит товаров, финансовые кризисы и так далее.

На основе модели Лазло экономическая система может двигаться от простого состояния, например, от простых циклических колебаний до более сложных осцилляций, скажем, до двухуровневого равновесия. Такое происходит, когда параметр стимулируется выше определенного критического уровня. Представьте себе картель поставщиков товаров. При формировании картельной цены ценовые движения могут сдвигаться от уровня, определяемого осцилляциями традиционного экономического цикла, до величины, диктуемой изменчивыми колебаниями между годами, различающихся предельно высокими ценами (жесткость цен), и годами с предельно низкими ценами (упадок и конкуренция). Другими альтернативными вариантами равновесия одной и той же системы могут быть инфляция и гиперинфляция или, скажем, низкое и высокое налогообложение.

Чем сильнее давление на критический параметр, тем больше возникнет раздвоений. Этот процесс нестабильных раздвоений называется каскадом Фейгенбаума[7](рис. 5), по имени математика того времени. В конечном счете, такой процесс ведет к хаосу.

Рисунок 5 Каскад Фейгенбаума. Диаграмма показывает, как простое равновесие множится все больше и больше, приводя, в конце концов, к хаотическому поведению. Раздвоения создаются простым уравнением: (Х_n+1=r*Х_n*(1-Х_n)), где параметр R (горизонтальная ось) постепенно увеличивается от 1.68 до 4.00. (Источник: Е. Моускилд и Дж. Томсен, Датский Технический университет.)

Побережье Британии

Один из самых необычных элементов в исследовании неупорядоченных систем описан математиком Бенуа Мандельбротом, который, кстати, работал в группе исследований и развития компании IBM, где изучал все, что его интересовало. Мандельброт занимался изучением моделей и структур, в создании которых обычно участвовали хаотические и неупорядоченные естественные процессы. Это, конечно, то, чем занимаются большинство ученых, но что фундаментально отличало Мандельброта от других, так это его подход к перспективе и расстоянию.

«Что является размерами любого объекта?» «Это, — говорит Мандельброт, — зависит от того, насколько далеко вы находитесь». С дальнего расстояния объект может уместиться всего в одной-единственной точке. С расстояния 1 метра объект занимает легко распознаваемое пространство. Но если мы будем придвигаться к нему все ближе и ближе, задача измерения этой области становится все более сложным делом. Шершавость, неровность и раздробленность, существующие на поверхности объекта, будут все более явными.

Эта стало очевидным Мандельброту, когда у него возникла идея проверить длину границ, используя для этого разные карты. Он задал очень простой вопрос: «Какова длина побережья Англии?» Стандартный ответ из энциклопедии не устроил Мандельброта. Наоборот, он доказал, что побережье Британии или любое другое побережье бесконечно длинное. Фактор, определивший результат, — это с какого расстояния смотреть: в пределах самого узкого места любого залива всегда можно найти бухту, которая будет еще меньше. Таким образом, заливы внутри залива беспрестанно увеличивают общую длину побережья, которая в результате стремится к бесконечности.