Ряд а) расходится, ряд в) сходится

Разрыва второго рода

разрыва первого рода

непрерывности

устранимого разрыва

3. На отрезке непрерывна функция …

- правильно

4. Количество точек разрыва функции равно …

Решение:
Точку называют точкой разрыва функции если она не является непрерывной в этой точке. В частности, точками разрыва данной функции являются точки, в которых знаменатель равен нулю. Тогда
или Решив последнее уравнение, получаем три точки разрыва:

5. Точка является точкой разрыва функции …

- правильно

Тема 4: Асимптоты графика функции
1. Вертикальная асимптота графика функции задается уравнением вида …

- правильно

Решение:
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции если эта функция определена в некоторой окрестности точки и или Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых или Однако точка не принадлежит области определения функции имеющей вид
Вычислим односторонние пределы функции в точке
и
Следовательно, прямая будет вертикальной асимптотой.

2. Наклонная асимптота графика функции задается уравнением вида …

- правильно

Решение:
Прямая является наклонной асимптотой графика функции при если существуют конечные пределы:
или соответственно

Вычислим эти пределы:


Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика данной функции как при так и при

3. Горизонтальная асимптота графика функции задается уравнением вида …

- правильно

Решение:
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при если существует
Вычислив предел

получаем уравнение горизонтальной асимптоты или

4. Вертикальная асимптота графика функции задается уравнением вида …

- правильно

Решение:
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции если эта функция определена в некоторой окрестности точки и или Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть или
Вычислим односторонние пределы функции в точке

Аналогично и то есть прямая не является вертикальной асимптотой.
Вычислим односторонние пределы функции в точке


Следовательно, прямая будет вертикальной асимптотой.

5. Горизонтальная асимптота графика функции задается уравнением вида …

- правильно

Решение:
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при если существует
Вычислив предел

получаем уравнение горизонтальной асимптоты или

6. Горизонтальная асимптота графика функции задается уравнением вида …

- правильно

Решение:
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при если существует
Вычислив предел

получаем уравнение горизонтальной асимптоты или

7. Наклонная асимптота графика функции задается уравнением вида …

- правильно

Тема 5: Производные первого порядка
1. Функция задана в параметрическом виде Тогда производная первого порядка функции по переменной имеет вид …

- правильно

Решение:

2. Производная функции равна …

- правильно

Решение:

3. Производная функции равна …

- правильно

Решение:

4. Производная функции равна …

- правильно

5. Функция задана в неявном виде Тогда производная первого порядка функции по переменной имеет вид …

- правильно

Решение:
Продифференцируем по обе части уравнения
Тогда

Решив последнее уравнение относительно получаем:

6. Производная функции равна …

- правильно

Решение:

Тема 6: Производные высших порядков
1. Производная второго порядка функции равна …

- правильно

Решение:
Вычислим производную первого порядка:

Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть

2. Производная второго порядка функции равна …

- правильно

Решение:
Вычислим производную первого порядка:

Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть

3. Производная второго порядка функции равна …

- правильно

Решение:
Вычислим производную первого порядка:

Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть

4. Производная второго порядка функции равна …

- правильно

Решение:
Вычислим производную первого порядка:

Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть

5. Производная второго порядка функции равна …

- правильно

Решение:
Вычислим производную первого порядка:

Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть

6. Производная второго порядка функции равна …

- правильно

Решение:
Вычислим производную первого порядка:

Тогда производная второго порядка вычисляется как производная от производной первого порядка, то есть

Тема 7: Приложения дифференциального исчисления ФОП
1. Точка максимума функции равна …

– 3

– 1

Решение:
Определим критические точки функции, для чего вычислим производную первого порядка и решим уравнение а именно Тогда
Определим производную второго порядка и вычислим ее значения в критических точках:

Так как то будет точкой минимума.

2. График функции будет выпуклым вниз при …

- правильно

Решение:
График данной функции будет выпуклым вниз при условии, что
Вычислим последовательно
и
Тогда при

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону Тогда ускорение точки в момент времени равно …

– 5

4. Минимум функции равен …

- правильно

Решение:
Определим критические точки функции, для чего вычислим производную первого порядка и решим уравнение а именно Тогда
Определим производную второго порядка и вычислим ее значения в критических точках:

Так как то будет точкой минимума. Следовательно,

5. Уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой имеет вид …

- правильно

Решение:
Уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой имеет вид Вычислим последовательно и Тогда уравнение касательной примет вид или

6. График функции будет выпуклым вверх при …

- правильно

Решение:
График данной функции будет выпуклым вниз при условии, что Вычислим последовательно
и
Тогда при

7. Наибольшее значение функции на отрезке равно …

– 1

Тема 8: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
1. Дифференциал второго порядка функции равен …

- правильно

2. Приближенное значение функции при вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …

2,025

1,975

2,01

2,1

Решение:
Воспользуемся приближенной формулой:

Полагая приходим к равенству

Вычислив последовательно

и получаем

3. Дана функция Тогда меньший действительный корень производной этой функции принадлежит промежутку …

- правильно

Решение:
Эта функция представляет собой полином 6-го порядка и дифференцируема на всей числовой оси. Согласно теореме Роля, между двумя корнями (нулями) этой функции находится по крайней мере один корень ее производной. Поскольку представляет собой полином (6-го порядка), то между двумя корнями функции находится ровно один корень ее производной
Найдем корни функции Тогда меньший действительный корень функции принадлежит интервалу

4. Приближенное значение функции при вычисленное с использованием дифференциала первого порядка, равно …

1,9825

2,0125

1,375

1,875

Решение:
Воспользуемся приближенной формулой:

Полагая приходим к равенству

Вычислив последовательно

и получаем

5. Дана функция Тогда больший действительный корень производной этой функции принадлежит промежутку …

- правильно

Решение:
Эта функция представляет собой полином седьмого порядка и дифференцируема на всей числовой оси. Согласно теореме Роля, между двумя корнями (нулями) этой функции находится по крайней мере один корень ее производной. Поскольку представляет собой полином (7-го порядка), то между двумя корнями функции находится ровно один корень ее производной
Найдем корни функции Тогда больший действительный корень функции принадлежит интервалу

6. Для вычисления предела один раз применили правило Лопиталя. Тогда предел примет вид …

- правильно

Решение:

Так как то при помощи алгебраических преобразований получим неопределенность вида или

Тогда можно воспользоваться формулой вида что приводит к пределу:

7. Дифференциал функции равен …

- правильно

Решение:
Дифференциал функции выражается формулой
Тогда вычислив

получаем, что

Тема 9: Частные производные первого порядка
1. Частная производная функции имеет вид …

- правильно

Решение:
При вычислении частной производной по переменной переменные и рассматриваем как постоянные величины. Тогда

2. Частная производная функции имеет вид …

- правильно

Решение:
При вычислении частной производной по переменной переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда

3. Частная производная функции имеет вид …

- правильно

Решение:

При вычислении частной производной по переменной переменные и рассматриваем как постоянные величины. Тогда

4. Частная производная функции имеет вид …

- правильно

Решение:
При вычислении частной производной по переменной переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда

5. Частная производная функции имеет вид …

- правильно

Решение:
При вычислении частной производной по переменной переменные и рассматриваем как постоянные величины. Тогда

6. Значение частной производной функции в точке равно …

- правильно

Решение:
При вычислении частной производной по переменной переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда

Следовательно,

7. Значение частной производной функции в точке равно …

– 2

Тема 10: Частные производные высших порядков
1. Частная производная второго порядка функции имеет вид …

- правильно

Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
и

2. Частная производная второго порядка функции имеет вид …

- правильно

Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда

3. Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …

- правильно