Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Если , то a = 0. Следовательно, a = 0 и = 0.

Получим:

‒ условие параллельности прямых.

Если , то a = и a ‒ не существует, то есть = 0. Следовательно,

‒ условие перпендикулярности прямых.

Пример:

Даны уравнения сторон треугольника

,

,

.

Найти:

1) Длину │CD│ и уравнение высоты CD.

2) Систему неравенств определяющих треугольник.

3) ÐB.

Решение:

Найдем координаты вершин треугольника.

A (– 4; 8)

.

B (5; – 4)

C (10; 6)

1) Найдем уравнение высоты CD.

CD AB

;

.

│· 4

– уравнение высоты CD.

D (2; 0)

Найдем длину │CD│.

2) Найдем систему неравенств определяющих треугольник.

,

,

.

или – уравнение AB.

– уравнение BC.

или – уравнение AC.

– система неравенств определяющих ∆ABC.

3) Найдем ÐB.

или

Формула расстояния от точки до прямой.

;

│ │= d‒ расстояние от точки до прямой.

Тогда формула расстояния от точки до прямой примет вид:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.

Пусть дана плоскость (a) и дан направляющий вектор прямой ( ) .

Если , то вектор . Следовательно, их скалярное произведение = 0.

В координатном виде получим:

– условие параллельности прямой и плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

Если , то коллинеарен , тогда по признаку коллинеарности их координаты пропорциональны. Следовательно, получим:

– условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть дана плоскость a и вектор = (A, B, C) a, пусть точка ( ) ϵ a и точка произвольная точка плоскости.

Так как a, то и , лежащему в плоскости a. Тогда их скалярное произведение = 0.

Запишем это равенство в координатной форме. Получим:

– уравнение плоскости с нормалью.

Общее уравнения плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Раскроем скобки в уравнении , получим

Обозначим:

Получим:

– общее уравнения плоскости.

Пример:

Построить плоскость по ее уравнению .

При A (3; 0; 0)

При B (0; 2; 0)

При C (0; 0; 6)

Расстояние от точки до плоскости.

– формула для нахождения расстояния от точки ( ) до плоскости a.

Если плоскость , то коллинеарен . Тогда по признаку коллинеарности векторы пропорциональны.

Если ( , , ) и , то

– условие параллельности плоскостей.

Если , то и . Тогда = 0.

Следовательно,

– условие перпендикулярности плоскостей.

Примеры:

1)

, т. к. ; k = – 5.

2)

=>