Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Задачу определения угла между двумя прямыми мы рассмотрим для случая, когда прямые заданы уравнениями и . Тогда острый угол между этими прямыми можно определить по формуле:

.

(2.9.1)

Для того, чтобы эти прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(2.9.2)

Для того, чтобы эти прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение

или .

(2.9.3)

Пример

Найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями и . Сформулировать условия перпендикулярности и параллельности прямых.

Решение

Если , – координаты вектора , перпендикулярного к первой прямой, а , – координаты вектора , перпендикулярного ко второй прямой, то угол между векторами и определяется по формуле:

.

(2.9.4)

Если прямые параллельны (коллинеарны), то коллинеарны и их нормальные векторы. Следовательно, координаты нормалей и пропорциональны. Таким образом, признаком параллельности данных прямых является условие

.

(2.9.5)

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. Следовательно, признаком перпендикулярности данных прямых является условие

=0.

(2.9.6)

Пример

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и А) параллельна прямой Б) перпендикулярна прямой В) образует угол с прямой .

Решение

а) Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид . Поскольку параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты , то , и уравнение искомой прямой .

б) Найдем угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данной прямой. Из условия перпендикулярности прямых (2.9.6) следует: . Значит, уравнение искомой прямой имеет вид .

в) Искомая прямая образует угол с прямой . Из формулы (2.9.1) имеем

, или , где . Решая это уравнение, получим два значения и . Значит, условию задачи удовлетворяют две прямые: и .

Пример

Вычислить острый угол между двумя прямыми и .

Решение

Угловые коэффициенты данных прямых таковы: и . Тангенс острого угла между ними определяется по формуле (2.9.1): . т.е. искомый угол равен .

Расстояние от точки до прямой

Пусть дана прямая и точка , принадлежащая этой прямой. Получим формулу расстояния от произвольной точки до этой прямой.

Рис. 2.8.2

Рассмотрим (Рис. 2.8.2) вектор и вектор нормали . Из Рис. 2.8.2 видно, что расстояние от точки до прямой равно модулю проекции вектора на вектор нормали :

.

Из формулы скалярного произведения следует, что

Так как точка принадлежит прямой, то . Следовательно, расстояние от точки до прямой равно

.

(2.9.7)

Пример

Две стороны квадрата лежат на прямых и . Вычислить площадь квадрата.

Решение

Для данных прямых выполнено условие (2.5.5), значит они параллельны и расстояние между ними равно стороне квадрата. Возьмем произвольную точку, принадлежащую первой прямой . Положим . Найдем : или . Следовательно, точка принадлежит прямой . Найдем расстояние от точки до второй прямой по формуле (2.9.7): . Следовательно, площадь квадрата равна

Пример

Найти длину перпендикуляра опущенного из точки на прямую .

Решение

Воспользуемся формулой (2.6.1), полагая , .