Квазилинейные предпочтения и общественные блага

Вообще, оптимальное количество общественного блага при разных распределениях частного блага будет различным. Однако оказывается, что при квазилинейных предпочтениях потребителей будет существовать единственное количество общественного блага, поставляемое при каждом эффективном распределении. Самый простой способ это увидеть — подумать о том, каков вид функции полезности, представляющей квазилинейные предпочтения.

Как мы видели в гл.4, квазилинейные предпочтения представляет функция полезности вида: u_i(x_i, G) = x_i + v_i(G). Это означает, что предельная полезность частного блага всегда равна 1, и поэтому предельная норма замещения частного блага общественным — отношение предельных полезностей — будет зависеть только от G. В частности:

¦MRS₁¦ = =

¦MRS₂¦ = = .

Нам уже известно, что эффективный по Парето объем предоставления общественного блага должен удовлетворять условию

¦MRS₁¦ + ¦MRS₂¦ = MC(G).

Воспользовавшись особым видом предельных норм замещения для случая квазилинейной функции полезности, мы можем записать это условие в виде

+ = MC(G).

Обратите внимание на то, что G в этом уравнении определяется без какой-либо ссылки на x₁ или x₂. Таким образом, существует единственный эффективный объем предоставления общественного блага.

Это подтверждает и поведение кривых безразличия. В случае квазилинейных предпочтений все кривые безразличия являются просто смещенными копиями одна по отношению к другой. Это означает, в частности, что наклон кривой безразличия — предельная норма замещения — не меняется при изменении количества частного блага. Предположим, что мы находим одно эффективное распределение общественного и частных благ в точке, где сумма абсолютных величин предельных норм замещения равна MC(G). Если мы отнимем некоторое количество частного блага у одного индивида и дадим его другому, то наклоны обеих кривых безразличия останутся теми же, так что сумма абсолютных величин предельных норм замещения по-прежнему будет равна MC(G), и мы получим еще одно распределение , эффективное по Парето.

В случае квазилинейных предпочтений все распределения, эффективные по Парето, находятся простым перераспределением частного блага. Количество частного блага остается фиксированным на эффективном уровне.

ПРИМЕР: Снова о загрязнении окружающей среды

Вспомним описанную в гл.31 модель взаимодействия сталелитейной и рыболовецкой фирм. Как мы утверждали в этой главе, эффективное количество загрязнения — такое, при котором издержки загрязнения сталелитейной и рыболовецкой фирм интернализируются. Предположим теперь, что рыболовецких фирм — две и что количество загрязнения, производимое сталелитейной фирмой, является общественным благом. (Или, что, возможно, более подходит в данной ситуации, общественным антиблагом!)

Тогда эффективное производство загрязнения будет связано с максимизацией суммы прибылей всех трех фирм, т.е. с минимизацией общих общественных издержек загрязнения. Формализуя сказанное, обозначим издержки производства сталелитейной фирмой s единиц стали и x единиц загрязнения через c_s(s, x), а издержки улова рыбы f₁ для фирмы 1 при объеме загрязнения x — (f₁, x) и запишем аналогичное выражение для фирмы 2 — (f₂, x). Чтобы вычислить количество загрязнения, эффективное по Парето, максимизируем сумму прибылей трех фирм:

max p_ss + p_f f₁ + p_f f₂ — c_s(s, x) — (f₁, x) — (f₂, x).

s, f₁, f₂, x

Для наших целей представляет интерес воздействие роста загрязнения на совокупную прибыль. Рост загрязнения снижает издержки производства стали, но повышает издержки производства рыбы для каждой из рыболовецких фирм. Соответствующее условие оптимальности для этой задачи максимизации прибыли есть

= 0,

оно говорит просто о том, что сумма предельных издержек загрязнения для всех трех фирм должна равняться нулю. Как и в случае с общественным потребительским благом, для определения количества общественного блага, эффективного по Парето, важна сумма предельных выгод или издержек для всех экономических субъектов.

Задача для безбилетника

Теперь, когда нам известно, каковы распределения общественных благ, эффективные по Парето, можно попытаться выяснить, как их достичь. Мы видели, что в случае частных благ и отсутствия внешних эффектов рыночный механизм приводит к эффективному распределению. Сработает ли рынок подобным же образом в случае общественных благ?

Каждого индивида можно считать обладателем некоторого начального запаса частного блага, w_i. Он может истратить какую-то долю этого частного блага на собственное потребление или же вложить какую-то его долю в покупку общественного блага. Обозначим частное потребление индивида 1 через x₁, а покупаемое им количество общественного блага — через g₁. Введем аналогичные обозначения и для индивида 2. Предположим для простоты, что c(G) ≡G, а это означает, что предельные издержки производства единицы общественного блага постоянны и равны единице. Общее количество предоставляемого общественного блага будет G = g₁ + g₂. Поскольку каждого индивида интересует общее количество предоставляемого общественного блага, функция полезности для i-го индивида будет иметь вид: u_i(x_i, g₁ + g₂) = u_i(x_i, G).

Чтобы решить, сколько средств следует вложить в приобретение общественного блага, потребитель 1 должен располагать каким-то прогнозом в отношении того, сколько вложит в его приобретение потребитель 2. Самое простое — воспользоваться моделью равновесия по Нэшу, описанной в гл.27, и предположить, что индивид 2 вносит в приобретение общественного блага некоторый вклад . Мы предполагаем, что потребитель 2 тоже догадывается о вкладе потребителя 1, и ищем равновесие, в котором каждый из индивидов вносит оптимальный вклад в приобретение общественного блага, при заданном поведении другого индивида.

Поэтому задача максимизации полезности для потребителя 1 принимает вид

u₁(x₁, g₁ + )

при x₁ + g₁ = w₁.

Эта задача — такая же, как и обычная задача максимизации полезности потребителя. Следовательно, условие оптимизации является тем же самым: если и тот, и другой индивид покупают оба вида благ, то предельная норма замещения частных благ общественными должна для каждого потребителя равняться 1:

¦MRS₁¦ = 1

¦MRS₂¦ = 1.

Однако здесь следует быть осторожными. Так, потребитель 2 покупает хоть какое-то количество общественного блага, он будет увеличивать это покупаемое количество до тех пор, пока предельная норма замещения не станет равной единице. Однако потребитель 2 вполне может решить, что суммы, уже вложенной потребителем 1, достаточно и поэтому ему вообще нет необходимости вкладывать что-либо в приобретение общественного блага.

Выражаясь формально, мы предполагаем, что индивиды могут вносить в приобретение общественного блага только позитивные вклады — класть деньги на тарелку для сбора пожертвований, но не могут забирать их оттуда. Поэтому в отношении вкладов каждого индивида существует дополнительное ограничение, состоящее в том, что g₁≥ 0 и g₂≥ 0. Каждый индивид может лишь решить, хочет ли он увеличить количество общественного блага. Однако вполне может оказаться, что один из индивидов сочтет сумму, вкладываемую в приобретение общественного блага другим, как раз достаточной и предпочтет совсем не вкладывать средства в его приобретение.

Случай, подобный этому, изображен на рис.34.2. Частное потребление каждого индивида отложено здесь по горизонтальной оси, а его общественное потребление — по вертикальной. "Начальный запас" каждого индивида включает в себя его богатство w_i, а также суммы вклада другого индивида в приобретение общественного блага, поскольку именно столько общественного блага будет доступным, если рассматриваемый индивид решит не вносить свой вклад в его приобретение. На рис.34.2A показан случай, в котором индивид 1 — единственный, кто вкладывает средства в приобретение общественного блага, так что g₁ = G. Если индивид 1 вкладывает в покупку общественного блага G единиц, то начальный запас индивида 2 будет состоять из его частного богатства w₂ и количества общественного блага G, поскольку индивид 2 получает доступ к потреблению общественного блага независимо от того, вносит ли он свой вклад в его приобретение. Поскольку индивид 2 не может сократить количество общественного блага, а может лишь его увеличить, его бюджетное ограничение представлено жирной линией на рис.34.2B. При данной форме кривой безразличия для индивида 2 оптимально с его точки зрения проехаться "зайцем", воспользовавшись вкладом индивида 1, и просто потребить его начальный запас, как показано на рисунке.

A B

Рис. 34.2

Задача для безбилетника. Индивид 1 вносит вклад в приобретение общественного блага, а индивид 2 пользуется им даром — за счет индивида 1.

Это пример того, как индивид 2 пользуется общественным благом даром — за счет вклада, сделанного индивидом 1. Поскольку общественное благо — благо, потребляемое всеми в одинаковых количествах, предоставление его за счет какого-то одного индивида приводит к уменьшению участия других в предоставлении общественного блага. Поэтому в общем в ситуации стихийно складывающегося равновесия общественного блага будет поставляться слишком мало в сравнении с его эффективным количеством.