Модели сотрудничества и конкуренции.

3.1.Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.

Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты i-й фирмы при выпуске x[i] равны a[i]*x[i] ( таким образом, a[i] есть себе стоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль i-ой фирмы равна W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])), где d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль. Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска x[2]. Тогда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации своей прибыли: dW[1]/dx[1]=b*(d[1]-(x[1]+x[2]))-b*x[1]=0, т.е. x[1]=(d[1]-x[2])/2. Аналогично бы действовала вторая фирма, т.е. выбрала бы свой выпуск в объеме x[2]=(d[2]-x[1])/2 . Стратегия Курно. Будем предполагать, что производственные циклы фирм совпадают. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Далее на рис. изображены прямые-множества стратегий фирмы в ответ на известную стратегию другой фирмы. Предположим, что d[1]/2<d[2]<2d[1], тогда эти прямые пересекаются в точке K с координатами x[1]=(2d[1]-d[2])/3, x[2]=(2d[2]-d[1])/3. Эта точка называется точкой Курно.

Предполагаем, что a[1]=a[2], тогда d[1]=d[2]=d, тогда точка Курно K(d/3,d/3),

x[i]=d/3, прибыли фирм W[i]=bd^2/9, цена p=c-2bd/3.

На рис. изображены прямые – множества стратегий фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы.

Допустим, что с=70, a=4, b=3Þd=22.Тогда:

Выпуск 1-й фирмы	Выпуск 2-й фирмы	Цена на рынке	Прибыль 1-й фирмы	Прибыль 2-й фирмы
10,3	1,4	34,9
8,1	5,8	28,2
7,5	7,0	26,6

Характеристика точки Курно:

x₁= x₂=d/3=7,3; P=(c-2bd)/3=26,0; W₁= W₂=(bd)²/9=161,3.

Стратегия Стакельберга и монополия, сводная таблица по всем трем точкам.

Стратегия Стакельберга. Что будет, если одна из фирм сознательно раскроет свою стратегию? Например, первая фирма даст возможность второй узнать свой ход x1 , тогда вторая ответит оптимальным для нее образом: x2=(d-x1)/2. Первая будет теперь действовать, исходя именно из такого поведения второй. Но прежде чем довести до сведения второй свой ход, первая фирма просчитает этот ход, исходя из максимизации своей прибыли: W1(x1)=bx1(d-x1-(d-x1)/2)=bx1(d-x1)/2, найдем производную и приравнивая ее нулю, получим x1=d/2, значит, x2=d/4. Эта пара выпусков образует точку Стакельберга S=(d/2,d/4). Прибыли фирм при этом: W1=bd^2/8, W2=bd^2/16, тем самым прибыль первой больше, а второй меньше чем в точке Курно, цена товара p=c-3bd/4 и меньше, чем в точке Курно.

Монополия. При объединении (монополии) фирм суммарная прибыль равна W(x)=bx(d-x) и ее максимум достигается при x=d/2 и равен W=bd^2/4, цена товара равна p=c-bd/2, обе величины больше чем в точке Курно. Все три точки: Курно, Стакельберга и монополия сведены в таблицу (b= 3, c=70,d=22,0):

¦x1 x2 x W1 W2 W P

Точка Курно ¦d/3 d/3 2d/3 bd^2/9 bd^2/9 2bd^2/9 c-2bd/3

Точка Стакельберга ¦d/2 d/4 3d/4 bd^2/8 bd^2/16 3bd^2/16 c-3bd/4

Монополия ¦ d/2 bd^2/4 c-bd/2

	X1	X2	X	W1	W2	W	P
Точка Курно	7,33	7,33	14,67	161,33	161,33	322,66	26,0
Точка Стакельберга		5,5	16,5	181,5	90,75	272,25	20,5
Монополия

Для потребителя наиболее предпочтительна точка Стакельберга, в которой цена товара наинизшая, а объем выпуска наибольший, а менее всего благоприятна ситуация монополии или картеля, в которой цена товара наивысшая, выпуск самый малый, зато суммарная прибыль фирм самая большая.

E. Угрозы и торги при взаимодействии двух фирм. Остановимся еще на некоторых моментах.

1) В стратегии Стакельберга первая фирма находится явно в более выгодной ситуации – ее прибыль в два раза больше. Возможно, вторая фирма не захочет с этим согласиться. Но все, что она может сделать – это изменить как-нибудь свой выпуск. Однако при этом ее прибыль только лишь уменьшится. Однако уменьшится и прибыль первой фирмы. Если первая фирма забеспокоится, то возможен разумный торг. Однако, если первая фирма более мощная, то она может сознательно пойти на уменьшение своей прибыли, продолжая выпускать , в надежде, что уменьшение прибыли второй фирмы “образумит” ее, т. е. заставит вернуться к выпуску .

2) Из таблицы видно, что первая фирма во всех ситуациях: в точке Курно, при стратегии Стакельберга, получает прибыль не более . Есть ли возможность получить большую прибыль? Если она более мощная, чем вторая фирма, то она может навязать второй фирме стратегию Стакельберга, а затем предложить перейти к выпускам по . При этом ее прибыль останется прежней - , но прибыль второй фирмы увеличится с до Поэтому является разумным предложить второй фирме разделить этот излишек в между обеими фирмами, тем самым прибыль первой фирмы превысит .