Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг.

На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, акции частных фирм, векселя и т.п. Ценная бумага удостоверяет возможность получения некоторого дохода. В общем случае владелец получит некоторый случайный доход.

Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и рискованность. Эффективность Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru есть некоторый обобщенный показатель дохода или прибыли. Будем считать Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru случайной величиной, ее математическое ожидание есть Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru .

При исследовании финансового рынка дисперсию обычно называют вариацией Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru и рискованность обычно отождествляется со средним квадратическим отклонением. Таким образом, Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru и Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru .

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Пусть Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -го вида. Пусть Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – эффективность (можно считать, доход за некоторый период времени) ценных бумаг Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -го вида, стоящих одну денежную единицу. Через Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru будем обозначать ковариацию ценных бумаг Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -го и Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -го видов (или корреляционный момент Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru ). Пусть Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – математическое ожидание эффективности Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru и Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , где Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – вариация или дисперсия этой эффективности Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Рискованность ценной бумаги Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -го вида отождествим со средним квадратическим отклонением Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru .

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка называется его портфелем. Эффективность портфеля (в простейшем случае это доход, приносимый ценными бумагами портфеля стоимостью одну денежную единицу за какой-нибудь промежуток времени), вообще говоря, есть случайная величина, обозначим ее через Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , тогда ожидаемое значение этой эффективности Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Дисперсия портфеля есть Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru .

Величина Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru может быть названа риском портфеля. Обычно Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru обозначается Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Итак, мы выразили эффективность и риск портфеля через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку "нельзя поймать двух зайцев сразу", необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском.

Математическая формализация задачи формирования эффективного портфеля Марковитца такова:

Найти Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , минимизирующие вариацию эффективности портфеля Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , т.е. Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru ; поскольку Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – доли, то в сумме они должны составлять единицу: Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru Оптимальное решение этой задачи снабдим *.Если Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , то это означает рекомендацию вложить долю Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru наличного капитала в ценные бумаги Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -го вида. Если же Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , то содержательно это означает провести операцию "short sale". Если такие операции невозможны, значит необходимо ввести ограничения Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Что такое операция "short sale" ?

Если Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , то инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -го вида (вместе с доходом, какой они бы принесли их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. На эти деньги он покупает более доходные ценные бумаги и получает по ним доход и оказывается в выигрыше!

Если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – эффективность безрисковых бумаг, а Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – доля капитала в них вложенного. Пусть Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – средняя ожидаемая эффективность и Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – вариация (дисперсия), СКО эффективности рисковой части портфеля, в рисковую часть портфеля вложено Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru часть всего капитала. Тогда ожидаемая эффективность всего портфеля Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , вариация портфеля Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru и риск портфеля Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , получим Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , т.е. ожидаемая эффективность портфеля линейно зависит от его риска.

Рассмотрим задачу об эффективном портфеле в этом случае, он называется эффективным портфелем Тобина. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1 до Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru .

Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru

Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru

Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru

Изложим теперь окончательное решение этой задачи.

Пусть Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – векторы-столбцы долей капитала, вкладываемых в Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Пусть также Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ruЗадача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru -мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значение долей Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru есть

Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru (2)

Здесь Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – матрица, обратная к Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (верхний индекс Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru означает транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – вектор-столбец размерности Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Видно, что этот вектор не зависит от эффективности портфеля Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Однако сумма компонентов вектора Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru зависит от Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , именно, компоненты вектора Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru пропорционально увеличиваются с ростом Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , поэтому доля Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Пример. Сформировать эффективный портфель Тобина заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 1 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 2 и 3 и рисками 4 и 10. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами?

|6| |25 0|

Решение. Итак, m0=2, M= |8|,.V=|0 144| Зададимся эффективностью портфеля Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Теперь надо найти обратную матрицу к матрице Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru . Это просто:

|1/25 0|

V-1=|0 1/144|. Вычислим знаменатель:

|1/25 0| |4| |4/25|

Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru |0 1/144| |6| = |1/24|,

|4/25|

(M-m0*I)T* Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru |4 6| *|1/24|=89/100

|4/25|

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X*=((mp-2)/0,89)|1/24|

Таким образом, рисковые доли должны быть разными и каждая из них равна соответственно (mp-1)/5,56 и. (mp-1)/21,36. Следовательно,

x0*=1-(mp-1)/5,56-(mp-1)/21,36. Понятно, что необходимость в операции "short sale" возникнет, если Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , т.е. когда mp>6,41. Можно доказать, что риск эффективного портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , где Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех имеющих заданный, т.е. найти Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru , максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля

Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru

при условии, что обеспечивается заданное значение риска портфеля, т.е.

Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru ,

поскольку Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru – доли, то в сумме они должны составлять единицу: Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в такой постановке задача формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на (2): Оптимальное значение долей Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru рисковых бумаг есть

Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru (3)

Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффективности в зависимости от заданного его риска Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru равна Задача оптимального формирования портфеля ценных бумаг. - student2.ru .

Наши рекомендации