I. составление математической модели производственной задачи.

СОДЕРЖАНИЕ.

I. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ. 3

II. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ К ВИДУ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ . 5

III. УКАЗАНИЕ ОБРАЩЁННОГО БАЗИСА Q, СООТВЕТСВУЮЩЕГО ОПТИМАЛЬНОМУ ВЫБОРУ БАЗИСНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ. ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ СООТНОШЕНИЙ. 8

IV. ФОРМУЛИРОВКА ДВОЙСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ И ЕЁ РЕШЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ._______________________________________ 10

V. “РАСШИВКА УЗКИХ МЕСТ“ ПРОИЗВОДСТВА. ФОРМУЛИРОВКА И СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ._____________________________________ 14

VI. СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ НОВОЙ ПРОИЗВОДСTВЕННОЙ ПРОГРАММЫ С УЧЁТОМ ПРОПОРЦИЙ._____________________________________________________ 16

VII. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.____________________________________ 17

VIII . ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.____________________________________ 18

IX. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПВЛОЖЕНИЙ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.___________________________________________ 20

X. РЕШЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТУПОК.___________________________________________________________________ 24

ХI. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОЙ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ. 26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.____________________________________________ 28

I. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ.

ДАННЫЕ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.

Линейная производственная задача.

Вариант № 14.

А - матрица удельных затрат;

В - вектор объёмов ресурсов;

С - вектор удельной прибыли.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₄ в₁

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₄ ; В= в₂ ;

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₄ в₃

С = (с₁, с₂, с₃, с₄).

В индивидуальном задании матрицы компактно записаны в виде:

С₁	С₂	С₃	С₄
a₁₁	a₁₂	a₁₃	a₁₄	B₁
a₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄	B₂
a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄	B₃

2 1 6 5 140

А = 0 3 0 4 В = 90

3 2 4 0 198

С=(27, 39, 18, 20 ) .

Х - вектор объёмов выпуска продукции (производственная программа).

Х = (х₁, х₂, х₃, х₄)

В общем виде математическая модель линейной производственной задачи выглядит следующим образом:

найти Х = (х₁, х₂, х₃, х4) такие, что

(1)

{

z(x₁, x₂, x₃, x₄) = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + c₄x₄ ® max, где z- функция прибыли;

(2) a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+a₁₄x₄ < в₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+а₃₄х₄ < в₂ ;

а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃+а₃₄х₄ < в₃

(3) x_i ³0 , i=1,4 .

(1) - целевая функция;

(2) - линейные ограничения задачи (ограничения по ресурсам);

(3) - условие не отрицательности задачи .

Подставив соответствующие значения , имеем:

(1) z=30x₁+25x₂+14x₃+12х₄®max

{

(2) 2x₁+ 1x₂ + 6x₃+ 5x₄ £ 140

3x₂+ 4x₄ £ 90

3x₁+ 2x₂ + 4x₃ £ 198

(3) x_i ³ 0, i=1...4.

(1)-(3)- математическая модель линейной производственной задачи.

II. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ К ВИДУ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ .

Целевая функция (1) и условие не отрицательности (3) остаются без изменений. В линейные ограничения по ресурсам вводятся дополнительные переменные х₅, х₆, х₇.

х₅ - остаток 1-го ресурса;

х₆ - остаток 2-го ресурса;

х₇- остаток 3-го ресурса.

Очевидно, что неравенство (2) следует заменить уравнениями. Получим задачу линейного программирования в каноническом виде:

(1) z = 27x₁ + 39x₂ + 18x₃ + 20х₄ ® max

{

(2) 2x₁+ 1x₂ + 6x₃ + 5x₄ + x₅ = 140

3x₂+ 4x₄+ x₆ = 90

3x₁+ 2x₂ + 4x₃ + x₇ = 198

(3) x_i ³0 , i=1...7 .

(1)-(3)-задача линейного программирования .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ .

Для решения задачи симплексным методом необходимо построить симплексную таблицу, что и сделано в следующей таблице:

Хб	Сб	Н	С₁	С₂	С₃	С₄	С₅	С₆	С₇	α
			Х₁	Х₂	Х₃	Х₄	Х₅	Х₆	Х₇
Х₅	С₅	В₅	а₁₁	а₁₂	а₁₃	а₁₄
Х₆	С₆	В₆	а₂₁	a₂₂	a₂₃	a₂₄
X₇	C₇	B₇	a₃₁	a₃₂	a₃₃	a₃₄
–	–	SСiвj	D₁	D₂	D₃	D₄

Подставив соответствующие значения из (1) и (3), имеем :

Xб	Сб	Н								α
			Х₁	Х₂	Х₃	Х₄	Х₅	Х₆	Х₇
Х₅
Х₆				3*
Х₇
–	–		-27	-39	-18	-20

Х₅						11/3		-1/3
Х₂						4/3		1/3		-
Х₇			3*			-8/3		-2/3
–	–		-27		-18
Х₅					10/3	49/9		1/9	-2/3
Х₂						4/3		1/3
Х₁					4/3	-8/9		-2/9	1/3
–	–

Пояснения к таблицам.

Хб- базисная переменная;

Н - значение переменной при равных нулю значениях небазисных переменных.

Пояснения к решению задачи. Алгоритм решения.

1. Просматриваем значения 4-й строки. Если все D_j ³ 0 ,то решение задачи оптимально.

2. Если какие-либо D_j < 0, находим min(D_j < 0) = D_к.

3. Х_к включаем в число базисных переменных.

4. Отыскиваем переменную исключаемую из базиса :

· находим min(в_i/а_ik) = в_l/а_lk (для всех а_ik > 0);

· Х_l исключаем из числа базисных переменных.

5. Строим новую симплексную таблицу, преобразуя исходную.

6. Возвращаемся в пункт 1.

Опорный план первой симплексной таблицы.

X=(0, 0, 0, 0, 140, 90, 198)

Этот опорный план отражает производство, при котором ничего не выпускается, сырьё не используется и стоимость произведённой продукции равна 0.

В строке оценочных коэффициентов имеются отрицательные значения, которые показывают на сколько увеличится прибыль от производства продукции при включении в план производства одной единицы продукции того или иного вида. Например, число –27 означает, что включение в план производства единицы изделий первого вида позволит увеличить прибыль на 27 денежных единиц. Наиболее выгодным в данной задаче будет внедрение в производство второго вида продукции, так как ему соответствует максимальная прибыль 39 денежных единиц. Поэтому x₂становится базисной неизвестной и запускается вторая технология. Так же определяем технологию, которую надо исключить из производства. Ограничивающим фактором буде объём сырья второго вида, так как из него можно произвести наименьшее количество продукции первого вида, так как ему соответствует наименьшее α равное 30.

Опорный план первой симплексной таблицы.

X=(0, 30, 0, 0, 110, 0, 138)

Изготавливается 30 единиц второго вида продукции. 110 единиц первого вида ресурса и 138 единиц третьего ресурса остаются в остатке.

Стоимость продукции при таком плане производства z=1170 денежных единиц.

Значение в столбцах данной симплексной таблицы показывают соотношение выпуска определённых видов продукции, либо затраты ресурсов при дополнительном вводе в производство какого-либо вида продукции. Например, число 4/3 показывает, на сколько единиц надо уменьшить выпуск второй продукции, чтобы внедрить в производство одну единицу четвёртой продукции. Причём для этого потребуется дополнительно 3²/₃ единицы первого ресурса и 8/3 единицы третьего (числа окаймляющие 4/3).

Прирост прибыли при внедрении одной единицы первого вида продукции составит 27 денежных единиц.

Из шестого столбца можно заключить, что при внедрении дополнительно ещё одной единицы второго ресурса, объём производства второй продукции увеличится на 1/3, при этом потребуется дополнительно 1/3 первого ресурса и 2/3 третьего ресурса. При данном увеличении объёма производства второй продукции прибыль увеличится на 13 денежных единиц.

И, наконец, по этой таблице определяем, что наибольший прирост прибыли принесёт первый вид продукции. При исключении из базиса x₇ неиспользованный третий ресурс полностью уйдёт в производство. С учётом этого составляем третью симплексную таблицу.

Опорный план третьей симплексной таблицы.

X=(46, 30, 0, 0, 18, 0, 0)

При данном плане производства достигается прибыль в размере 2412 денежных единиц.

Этот план не предполагает выпуска третьей и четвёртой продукции, что видно из строки оценочных коэффициентов, где убытки составляют от третьей продукции – 18 денежных единиц, я для четвёртого – 8 денежных единиц на единицу продукции. Оценочные коэффициенты соответствующие ресурсам: 0,7,9 – выражают меру дефицитности ресурсов. В случае увеличения количества дефицитных ресурсов на единицу (второго и третьего) объём выпуска второй и первой продукции увеличится на 1/3 и на 1/3, а прибыль увеличится на 7,9 денежных единиц, соответственно. Оценка первого ресурса равна 0. Он дан в избытке, увеличение его количества не ведет к увеличению прибыли, поэтому увеличивать его нет смысла.

Выводы.

1. Оптимальная производственная программа имеет вид :

Х₁=46, Х₂=30, Х₃=0, Х₄=0, или Х=(46,30,0,0).

2. Максимальная прибыль равна Zmax=2412.

3. Использование ресурсов:

2-й и 3-ий ресурс используется полностью (Х₆=0,Х₇=0), а 1-ый ресурс имеет остаток Х₅=18 единиц.

4. При выполнении производственной программы 2-й и 3-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”.

VII. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.

Решение задачи планирования с учётом пропорций оказалось не целочисленным, следовательно следует решить задачу методом ветвей и границ, для нахождения целочисленных решений.

G₀ = P(x) = 81x₁ + 119x₂®max

{

20x₁ + 21x₂ £ 140

19x₂ £ 90

15x₁ + 2x₂ £ 198

x₁ = 2.03, x₂ = 4.73, P(x)_max = 727.3

P_гр = -¥

{

1) См. график на рисунке

G₁= G₀ , x₂£ 4 G₂ = G₀, x₂³ 5

т. А (2,8; 4) решений нет

P(x)_max = 702,8 P_гр = -¥

{

2) См. график на рисунке

G₃= G₁, x₁ £ 2 G₄= G₁, x₁³ 3

т. А (2; 4) т. А (3; 3,8)

P(x)_max = 638 P(x)_max = 525

P_гр = 638

{

3) См. график на рисунке

{

G₅= G₄ , x₂£ 3 G₆ = G₄, x₂³ 4

т. А (3,85; 3) решений нет

P(x)_max = 668,85 P_гр = -¥

{

4) См. график на рисунке

G₇ = G₅, x₁ £ 3 G₈= G₅, x₁³ 4

т. А (3;3) т. А (4; 2,85)

P(x)_max = 600 P(x)_max = 664

P_гр = 600

{

5) См. график на рисунке

G₉= G₈, x₂£ 2 G₁₀= G₈, x₂³ 3

т. А (4,9; 2) решений нет

P(x)_max = 638,2 P_гр = -¥

Получили целочисленное решение, при котором x₁=2, x₂=4, а P(x)_max = 638.

VIII . ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.

1+а11	1+а12	1+а13	1+а14
1+а21	1+а22	1+а23	1+а24
1+а31	1+а32	1+а33	1+а34

За вектор объёмов производства примём вектор объёмов ресурсов:

(b1,b2,b3)

а за вектор объёмов потребления принять:

(lс1,lс2,lс3,lс4),

где

3 2 7 6

А = 1 4 1 5 – матрица транспортных издержек

4 3 5 1

b = 90 -- вектор объёма ресурсов

l=(b₁+b₂+b₃) / (c₁ + c₂ + c₃ + c₄) = (198+90+140) / (27+39+18+20) = 4

с= (27*4; 39*4; 18*4; 20*4) -- вектор объёма потребления

с=(108; 156; 72; 80)

В нашей задаче 4 потребителя и 3 поставщика, причём суммарный объем поставок равный 428 превышает суммарный объем потребления равный 416. Поэтому для решения задачи ведём дополнительно ещё одного потребителя, с потреблением равным 12.

Имеем:

p\q	q₁ = 3	q₂ = 6	q₃ = 2	q₄ = 5	q₅ = 0	--
p₁ = 0			--	--	--
p₂ = -2		--		--	--
p₃ = 1	--		--
--

Для заполненных клеток p_i + q_j = C_ij

Проверка на оптимальность

Для незаполненных клеток D_ij=p_i + q_j - c_ij

D₁₃ = -4 D₁₄ = -6 D₁₅ = -1

D₂₂ = -4 D₂₄ = -7 D₂₅ = -3

D₃₁ = 0 D₃₃ = -1

Т.к. все D_ij £ 0, то мы нашли оптимальное решение:

90 108 -- -- --

X_опт = 18 -- 72 -- --

-- 48 -- 80 12

R_min = 90*3 + 108*2+ 18 + 72 + 48*3 + 80 = 3840

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1.Методическое пособие к выполнению курсовой работы по дисциплине “Количественные методы в управлении”/ Сост. : И.С. Карандаев и др.; ГАУ. М. 1994.

2. Юдин Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования . –М. : Мысль, 1979.