Этапы прогнозирования на основе трендовых моделей

Можно выделить следующие основные этапы прогнозирования на основе трендовых моделей:

1.Предварительный анализ данных временного ряда.

Целью данного этапа является предварительный выбор функции тренда для конкретного временного ряда. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные и экспоненциальные трендовые модели.

Например, линейный тренд (полином первой степени) имеет уравнение:

.

Уравнение полиномиального трендавторой степени:

.

Экспоненциальный тренд имеет уравнение

или

где .

В этих уравнениях а₂, a_1, a_0, a, b и m –параметрытренда, т.е. некоторые числа, которые имеют для каждого ряда свое конкретное значение.

Выбор функции тренда для конкретного объекта прогнозирования чаще всего осуществляется по виду графика фактических значений временного ряда. Существуют также и другие, более формальные методы подбора тренда (например, метод конечных разностей).

2.Численная оценка параметров моделей.

Для выбранной функции тренда необходимо подобрать ее параметры таким образом, чтобы график функции тренда прошел как можно ближе к фактическим данным.

Параметры трендовой модели оцениваются методом наименьших квадратов. Суть его в том, что параметры тренда подбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений между фактическими и теоретическими значениями показателя была наименьшей:

,

где y_i –фактическое значение показателя в момент времени t_i;

– теоретическое значение показателя в момент времени t_i (т.е. рассчитанное по тренду).

На рис.7.1. показан пример фактических данных (значения y₁, y₂, y₃, y₄) и теоретических значений, рассчитанных по линейной трендовой модели (значения , , , ). Считается, что отклонение фактического значения показателя от расчетного ( ) определяется случайными факторами. При этом прямая линейного тренда построена так, чтобы сумма квадратов этих отклонений была наименьшей, т.е. тренд проходил как можно ближе ко всем фактическим данным в совокупности.

Рисунок 7.1 - Пример отклонения линейного тренда от фактических данных

3.Оценка точности моделей.

Для любого временного ряда обычно подбирают несколько трендовых моделей, (например, линейную и экспоненциальную) и для каждой модели находят параметры уравнения тренда. Затем нужно сравнить модели и определить, которая из них является более точной. Под точностью понимают степень отклонения рассчитанных по тренду значений от фактических данных временного ряда.

Показателем точности модели является коэффициент детерминации R²:

,

где ,

- среднее значение фактических значений показателя.

Числитель величины есть та величина, которая была минимизирована методом наименьших квадратов. Чем она меньше, тем ближе проходит тренд к фактическим данным и тем выше коэффициент детерминации. Поэтому более точной считается та модель, коэффициент детерминации которой больше.

Величина коэффициента детерминации всегда заключена в пределах

На практике модель считается достаточно точной, если коэффициент детерминации R²³0,9. По коэффициенту детерминации сравнивают модели и выбирают лучшую из них, по которой и выполняется прогноз.

4. Выполнение прогноза.

Когда выбрана функция тренда и известны ее параметры, прогноз выполняется путем подстановки значения будущего момента времени в эту функцию тренда. Например, для линейной модели:

;

и т.д.

Примеры тестовых заданий по теме 7

1. Пусть для некоторого временного ряда методом наименьших квадратов определены следующие трендовые модели, для которых рассчитан также и коэффициент детерминации:

а)

б)

Выполните прогноз для момента времени t=10 по наиболее точной модели.

Решение.

Точность трендовой модели характеризуется коэффициентом детерминации R²: чем он больше, тем более точной считается модель. Поэтому в данном примере более точной будет модель а) , для которой R²=0,953. Для расчета прогноза подставим в выбранное уравнение тренда значение времени, относящееся к будущему:

Ответ:321,5

2. Иванов Иван Иванович занимался прогнозированием объемов продаж различных товаров для фирмы, торгующей радиоэлектроникой. Для данных о продаже телевизоров была выбрана экспоненциальная модель , коэффициент детерминации , прогноз на июль: 22, на август: 25. Является ли верным данный прогноз?

Решение. Коэффициент детерминации может принимать значения от 0 до 1, поэтому вызывает подозрения “прогнозист”, который утверждает, что значение этого показателя равно 1,5. Ответ: нет.

3. Пусть имеется тенденция роста спроса на определенный товар. Функция тренда выражает эту тенденцию в форме зависимости:

a) от уровня средней заработной платы

b) от цены на товар

c) от количества средств, затрачиваемых на рекламу

d) от времени

e) от численности населения

Ответ: d). Функция тренда – это всегда функция от времени.