Основные виды тренда и трендовых моделей

Равномерное развитиеимеет ряд динамики со стабильными абсолютными приростами. Его трендовой моделью является линейная модель

. (1.12.18)

Полагая в формулах (1.11.8) и , получим формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

, (1.12.19)

модели (1.12.18).

Равноускоренное или равнозамедленное развитиеимеет ряд динамики со стабильными цепными темпами прироста. Его трендовой моделью является параболическая модель

, (1.12.20)

где в случае равноускоренного и в случае равнозамедленного развития.

Полагая в системе уравнений (1.11.14) , и решая ее, получим формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

, ,

(1.12.21)

модели (1.12.20).

Развитие с переменным ускорением или замедлением описывается кубической трендовой моделью

, (1.12.22)

где в случае переменного ускорения и в случае переменного замедления.

Нетрудно вывести следующие формулы для вычисления МНК-оценок параметров:

, , (1.12.23)

, (1.12.24)

модели (1.12.22).

Развитие по экспонентеимеет ряд динамики со стабильными цепными темпами роста. Его трендовой моделью является экспоненциальная (показательная) модель

. (1.12.25)

Параметр модели (1.12.25) характеризует интенсивность развития.

Логарифмируя обе части уравнения (1.12.25), получим линейное уравнение: lg . Поэтому МНК-оценки параметров модели (1.12.25) вычисляются по формулам:

, . (1.12.26)

Наряду с рассмотренными трендовыми моделями применяются другие трендовые модели, из которых укажем полулогарифмическую модель

, (1.12.27)

и гиперболическую модель

. (1.12.28)

В качестве условных моментов времени в моделях (1.12.27) и (1.12.29) надо брать любые числа , удовлетворяющие соответственно условиям и . Так как модели (1.12.28) и (1.12.29) являются линейными относительно и , то МНК-оценки параметров этих моделей вычисляются соответственно по формулам

, (1.12.29)

и

, . (1.12.30)

Адекватность трендовой модели оценивается с помощью средней ошибки аппроксимации (1.11.19).

Пример 1.12.8.Составим рассмотренные трендовые модели ряда динамики (табл. 1.12.14) и по наилучшей модели выявим тренд розничного товарооборота фирмы.

Таблица 1.12.14

Розничный товарооборот фирмы

Год	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Объем розничного товарооборота - у, млн. руб.	16,4	16,9	17,8	18,3	19,1

Для вычисления МНК-оценок параметров трендовых моделей составим расчетную табл. 1.12.15.

Таблица 1.12.15

Расчетные показатели

Год	Условные моменты времени
1-й	–2		–8		–32		16,4	–32,8	65,6	–131,2	1,2115	–2,4230
2-й	–1		–1		–1		16,9	–16,9	16,9	–16,9	1,2279	–1,2279
3-й							17,8				1,2504
4-й							18,3	18,3	18,3	18,3	1,2625	1,2625
5-й							19,1	38,2	76,4	152,8	1,2810	2,5620
							88,5	6,8	177,2	23,0	6,2366	0,1736

Применяя формулы (1.12.19), (1.12.21), (1.12.23), (1.12.24) и (1.12.26) и суммы в итоговой строке табл. 1.12.15, вычислим МНК-оценки параметров:

1) линейной модели

, ;

2) параболической модели

, , ;

3) кубической модели

, , , ;

4) экспоненциальной модели

, откуда ,

, откуда .

Таким образом, получены следующие трендовые модели ряда динамики розничного товарооборота фирмы:

, (1.12.31)

, (1.12.32)

, (1.12.33)

. (1.12.34)

Для вычисления средней ошибки аппроксимации построенных моделей составим расчетную табл. 1.12.16.

Применяя формулу (1.11.19) и суммы в итоговой строке табл. 1.12.16, найдем, что средняя ошибка аппроксимации:

1) линейной модели составила: ;

2) параболической модели – ;

3) кубической модели – ;

4) экспоненциальной модели – .

Наименьшую среднюю ошибку аппроксимации имеет экспоненциальная модель.

Таблица 1.12.16