Тема 1. основы моделирования социально-экономических систем

ТЕМА 1. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Экономико-математические методы и их классификация

Экономико-математические методы (ЭММ) – это комплекс экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.

В комплексе ЭММ можно выделить следующие дисциплины:

1) Эконометрика. Одно из важнейших направлений эконометрики – это анализ временных рядов и построение прогнозов.

2) Экономическая кибернетика (наука об управлении экономикой). Выделяют такие разделы, как теория экономической информации, теория управляющих систем.

3) Математическая экономика. Для нее характерен системный подход, т.е. экономика рассматривается как совокупность ее функциональных подсистем (производственной, финансово-кредитной, потребительской) Основные разделы – теория производственных функций, теория спроса и потребления, межотраслевые балансы.

4) Методы исследования операций в экономике. Методы исследования операций дают обоснование выбора оптимальной стратегии с учетом ограничений. Основные разделы: математическое программирование, теория игр, сетевое планирование и управление.

5) Экспериментальные методы (имитационное моделирование, деловые игры и др). Имитационное моделирование позволяет построить на ЭВМ алгоритмическую модель некоторого экономического процесса и производить на ней эксперименты. Такой подход позволяет исследовать системы практически любой степени сложности.

Объектом исследования всех экономико-математических методов являются социально-экономические системы. Под социально-экономическими системами понимают такие системы, в которых рассматриваются экономические, социальные, организационные или управленческие процессы. Любая система обладает свойством целостности, т.е. ее свойства не сводятся к сумме свойств составляющих ее элементов. Таким образом, социально-экономическая система обладает такими свойствами, которых нет у каждого из ее элементов. Кроме того, можно выделить также следующие особенности этих систем, которые делают сложным задачу их исследования:

1) Процессы в этих системах являются динамическими, т.е. изменяются во времени.

2) Элементами системы являются люди, поведение которых трудно формализуемо.

3) На систему в значительной мере влияют внешние факторы. Поэтому экономическую систему трудно изолировать от окружающей среды и исследовать ее в чистом виде.

4) События в системе чаще всего носят случайный характер, и некоторые параметры системы не определены.

5) Количество переменных, которые описывают систему, очень велико.

6) Массовый характер экономических явлений и процессов. Выявление закономерностей требует большого числа наблюдений.

Цельюисследования социально-экономических систем является решение следующих практических задач:

1) анализ экономических объектов и процессов;

2) экономическое прогнозирование, т.е. предвидение развития экономических процессов;

3) выработка оптимальных управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии.

Для сравнения управленческих решений необходимо ввести понятие критерия оптимальности. Критерий оптимальности – это экономический показатель, на основании которого осуществляется выбор лучшего управленческого решения. Критерии оптимальности бывают натуральные и стоимостные, максимизируемые и минимизируемые. Например, максимизируемые критерии: валовая, конечная, чистая продукция, прибыль, рентабельность. Минимизируемые критерии: себестоимость, общие затраты и т.д. В моделях критерий оптимальности формализуется в виде целевой функции.

Основные понятия моделирования

Основным методом исследования социально-экономических систем является метод моделирования. Моделированием называется способ изучения реального объекта через рассмотрение подобного ему и более простого объекта, т.е. его модели. Таким образом, моделирование предполагает разработку модели, исследование этой модели и перенос результатов исследования на реальный объект.

Модель – это образ реального объекта, отражающий существенные свойства этого объекта и замещающий его в ходе исследования. Модель может быть материальной (образец, макет) или идеальной (описание, схема, график и т.д.).

Математической моделью называется формализованное на языке математики описание объекта или процессов, в нем протекающих. Математические модели имеют вид функций, уравнений, неравенств и их систем.

Сложность социально-экономических систем делает невозможным создание полной модели, учитывающей все без исключения факторы. Поэтому модель отображает лишь некоторые, существенные черты исходного объекта и замещает оригинал в строго ограниченном смысле. В зависимости от целей моделирования один и тот же объект может иметь различные модели.

Под адекватностью модели понимается ее соответствие исследуемым чертам и свойствам исходного объекта. Критерием адекватности является совпадение результатов моделирования и результатов эксперимента на реальном объекте.

Единой системы классификации моделей не существует. Имеются несколько признаков классификации. Рассмотрим некоторые из них.

1. По общему целевому назначению различают теоретико-аналитические модели, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные модели, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления.

2. По степени агрегирования объектов моделированиямодели подразделяются на макроэкономические и микроэкономические. Макроэкономические модели отражают функционирование экономики как единого целого, а микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

3. По учету фактора времени выделяют статические модели, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и динамические модели, описывающие экономические системы в развитии.

4. По учету фактора неопределенностимодели подразделяются на детерминированные и стохастические. Детерминированными называются модели объектов, состояние которых однозначно определяется через параметры, входную информацию и начальные условия. Если же состояние объекта зависит также и от некоторых случайных величин, то модель является стохастической.

5. По типу математического аппарата,используемого в модели, различают следующие виды моделей:

§ модели межотраслевого баланса (МОБ), используемые для анализа и планирования обмена продукцией между отраслями народного хозяйства;

§ модели прогнозирования, основная цель которых состоит в том, чтобы сделать прогноз, т.е. предсказать значение некоторого экономического показателя в момент времени, относящийся к будущему.

§ модели массового обслуживания, которые позволяют выработать рекомендаций по рациональному построению систем, предназначенных для обслуживания потока заявок (примерами таких систем являются магазины, предприятия бытового обслуживания, сети связи и т.д.);

§ модели управления запасами используются для определения размера создаваемого запаса и момента времени его пополнения, при которых суммарные затраты склада были бы минимальными;

§ модели задач математического программирования, которые предназначены для отыскания оптимального управленческого решения при наличии ряда ограничений;

§ модели сетевого планирования и управления, используемые при планировании сложных комплексов взаимосвязанных работ;

§ модели теории игр, применяемые для исследования конфликтных ситуаций, возникающих в условиях неопределенности.

ТЕМА 2. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Метод сетевого планирования используется при планировании сложных комплексов взаимосвязанных работ. Основой этого метода является сетевой график.

Сетевой график(ориентированный граф) - это графическая модель некоторого комплекса взаимосвязанных работ (проекта или производственного процесса).

Работа -это процесс, приводящий к определенным результатам. Работа на графике изображается дугой (стрелкой). Работа имеет продолжительность и может требовать ресурсов. Над дугой может быть указана числовая характеристика работы (например, время выполнения).

Вершинам графика соответствуют события (вершина изображается кружком или квадратиком). Событие– факт окончания всех работ, в него входящих, и начала всех работ, из него исходящих. Пока не выполнены все работы, входящие в событие, не может свершиться само событие и, следовательно, не может быть начата ни одна из работ, выходящих из него. Событие не имеет продолжительности и не требует ресурсов.

Событие в сетевом графике имеет номер, а работа обозначается двумя номерами (i,j), где i – номер начального события работы, а j – номер конечного события работы (см. рис.2.1). Продолжительность работы обозначается t(i,j).

Рисунок 2.1 – Изображение работы на сетевом графике

Событие, с которого начинается выполнение проекта, называется исходным и обозначается I. Исходное событие не имеет предшествующих работ.

Событие, которое констатирует факт завершения проекта, называется завершающими обозначается S. Завершающее событие не имеет последующих работ. В сетевом графике может быть только одно исходное и только одно завершающее событие.

Путь - это последовательность работ в сетевом графике. Полный путь – это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих исходное и завершающее событие.

На основе сетевого графика могут быть решены следующие задачи:

1) Анализ последовательности и взаимосвязи работ. Сам процесс построения сетевого графика дает возможность четко выявить взаимосвязь различных этапов проекта, условия начала тех или иных работ.

2) Определение срока выполнения проекта (критического срока).

3) Выявление возможностей задержки начала каждой работы или удлинения срока ее выполнения.

4) Оптимизация времени выполнения проекта или ресурсов, требуемых для его выполнения.

Рассмотрим пример сетевого графика (рис.2.2). Это график проекта некоторой туристической фирмы, включающий комплекс работ по подготовке к участию в выставке. Перечень работ приведен в таблице 2.1.

Рисунок 2.2 – Сетевой график примера

Таблица 2.1 – Перечень работ проекта по организации выставки

Содержание работы	Обозначение	Продолжительность работы, дней
Определение рекламной стратегии	(1,2)	2
Разработка дизайна проекта экспозиции	(1,3)	4
Определение количества и видов рекламно- информационных материалов	(2,3)	1
Заключение договора на участие и оплата аренды	(2,4)	2
Обучение и инструктаж персонала	(2,6)	3
Заказ оборудования и рекламных материалов, оплата счетов	(3,4)	5
Доставка оборудования, экспонатов и рекламных материалов	(4,5)	4
Техническое оформление стендов	(5,6)	5

Данный проект включает восемь работ и шесть событий. Сетевой график отражает взаимосвязь работ проекта.

Например, работа (2,3) имеет продолжительность 1 день. Она может быть начата только тогда, когда завершится работа (1,2).

Работа (3,4) имеет продолжительность 5 дней. Она может быть начата только тогда, когда завершатся обе работы, ей предшествующие: (1,3) и (2,3).

Событие 4 состоит в факте окончания обоих работ (2,4) и (3,4) и начала работы (4, 5). Событие 4 не наступит, если хотя бы одна из работ (2,4) или (3,4) не завершена. Аналогично можно объяснить смысл остальных событий.

В примере исходным является событие 1, а завершающим – событие 6.

Выделим следующие полные пути (они обозначаются номерами событий, через которые проходят):

m₁=(1-2-3-4-5-6);

m₂=(1-3-4-5-6);

m₃=(1-2-4-5-6);

m₄=(1-2-6).

Критическимназывается полный путь, имеющий наибольшую продолжительность во времени. Критических путей на сетевом графике может быть несколько (при этом все они имеют одинаковую продолжительность).

Продолжительность критического пути определяет критический срок проекта t_кр. Все остальные (некритические) полные пути выполняются параллельно с критическим путем (цепочкой работ) и завершаются раньше. Критический срок, таким образом, показывает, за какое минимальное время может быть завершен весь проект. Очевидно, что увеличение сроков выполнения проекта больше t_кр невыгодно.

Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Они не имеют резервов времени. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего проекта.

В нашем примере определить критический путь легко: нужно перебрать все возможные полные пути, рассчитать продолжительность каждого из них и выбрать наибольший:

t(m₁)=2+1+5+4+5=17;

t(m₂)=4+5+4+5=18;

t(m₃)=2+2+4+5=13;

t(m₄)=2+3=5;

Критическим является полный путь μ_2, т.к. он имеет наибольшую продолжительность. Критический путь принято выделять на графике жирной линией (рис.2.3).

Однако, если сетевой график достаточно сложный, перебрать все возможные пути затруднительно. Поэтому используют более формальный подход:

1) Для каждого события рассчитывают ранний и поздний сроки свершения.

2) На их основе определяют резервы времени всех событий и работ.

3) Проводят критический путь по тем работам и событиям, которые не имеют резерва времени.

Ранний срок свершения события– это самый ранний момент, к которому завершаются все работы, предшествующие этому событию.

Ранний срок свершения события рассчитывается последовательно для каждого события от исходного к завершающему по следующим формулам:

, т.е. начало проекта принимается за нулевой момент времени;

, если событию j предшествует только одна работа;

, если событию предшествует несколько работ.

Здесь i®j – множество работ, заканчивающихся j-м событием (дуги, входящие в вершину j);

– ранний срок свершения события, с которого начинается работа (i,j);

– продолжительность работы (i,j).

Рассчитаем ранние сроки свершения событий для нашего примера. Результат расчетов для каждого события будем записывать возле соответствующей вершины графа на рисунке 2.3. (В скобках возле каждой вершины записываются поздние сроки свершения событий, которые мы рассчитаем далее).

t_р(1)=0 (Расчет времени начинается с 0)

Событие 2 наступит тогда, когда закончится работа (1,2). Эта работа начнется в момент времени 0 и продлится 2 дня. Поэтому она закончится в 0+2=2 день:

t_р(2)=t_р(1)+t(1,2) =0+2=2.

В вершину 3 входят две стрелки, т.е. событие 3 наступит тогда, когда закончатся обе работы: (1,3) и (2,3). Работа (1,3) начнется в момент времени 0 и продолжится 4 дня. Т.е. она закончится в 0+4=4 день. Аналогично, работа (2,3) закончится в 2+1=3 день. Поскольку обе работы должны закончиться, чтобы наступило событие 4, нужно ориентироваться на самую позднюю из них, т.е. взять максимум по входящим в событие работам:

t_р(3)=max{t_р(1)+t(1,3), t_р(2)+t(2,3)}=max{0+4,2+1}=4.

Так же находят ранние сроки остальных событий проекта:

t_р(4)=max{ t_р(2)+t(2,4),t_р(3)+t(3,4)}=max{2+2,4+5}=9;

t_р(5)= t_р(4)+t(4,5)=9+4=13;

t_р(6)= max{t_р(2)+t(2,6), t_р(5)+t(5,6)}=max{2+3,13+5}=18.

Критический срок проекта совпадает с ранним сроком свершения завершающего события проекта:

t_кр=t_р(S).

Таким образом, рассчитав ранние сроки, мы узнали критический срок проекта нашего примера: t_кр=t_р(6)= 18.

Рисунок 2.3 – Сетевой график примера с результатами расчетов

Поздний срок свершения события– это такой предельный момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для выполнения всех работ, следующих за этим событием, к критическому сроку.

Поздние сроки свершения событий рассчитываются «обратным ходом» от завершающего события к исходному по следующим формулам:

, т.е. для завершающего события поздний срок свершения совпадает с критическим сроком;

, если событием i начинается одна работа;

, если событием i начинается несколько работ.

Здесь i®j – множество работ, начинающихся i-м событием (дуги, исходящие из вершины i);

– поздний срок свершения события, которым заканчивается работа (i,j);

– продолжительность работы (i,j).

Рассчитаем поздние сроки свершения событий для нашего примера и запишем их в скобках возле соответствующей вершины (рис.2.3).

Для завершающего события: t_п(6)= t_р(6)=18.

Рассчитывая поздний срок свершения события 5, необходимо учитывать, что этим событием начинается работа (5,6), которая должна быть обязательно закончена к 18 дню. Она длится 5 дней, поэтому самый поздний момент, когда она должна начаться, это 18-5=13 день. Если вдруг событие 5 наступит, скажем, на 14 день, то работа (5,6) закончится на 14+5=19 день и срок выполнения всего проекта будет сорван. Поэтому можно записать для события 5:

t_п(5)=t_п(6)-t(5,6)= 18-5=13.

Событием 4 начинается одна работа (4,5). Она должна быть закончена к 13 дню для того, чтобы следующая за ней работа успела к критическому сроку. Поэтому работа (4,5) должна начаться не позже, чем на 13-4=9 день. Таким образом,

t_п(4)=t_п(5)-t(4,5)= 13-4=9.

Аналогично рассчитываем поздний срок свершения события 3:

t_п(3)=t_п(4)-t(3,4)= 9-5=4.

Событием 2 начинаются три работы: (2,3), (2,4) и (2,6). Все они должны успеть закончиться вовремя, т.е. работа (2,3) – к 4 дню, работа (2,4) – к 9 дню, а работа (2,6) – к 18 дню. Для этого работа (2,3) должна начаться не позже, чем на 4-1=3 день, работа (2,4) – на 9-2=7 день, а работа (2,6) должна начаться не позже, чем на 18-3=15 день. Чтобы успели все эти работы, нужно, чтобы успела та из них, которая начинается раньше. Поэтому нужно найти минимум по исходящим из события 2 работам:

t_п(2)=min{t_п(3)-t(2,3), t_п(4)-t(2,4), t_п(6)-t(2,6)}=

=min{4-1, 9-2, 18-3}=3.

Аналогично находится поздний срок свершения события 1, из которого выходят две работы:

t_п(1)= min{t_п(3)-t(1,3), t_п(2)-t(1,2)}=min{4-4, 3-2}=0.

Резерв времени событияпоказывает, на какой предельно допустимый срок может задержаться свершение события i без нарушения критического срока проекта:

Рассчитаем резервы времени событий для нашего примера:

R(1)=t_п(1)-t_р(1)=0-0=0;

R(2)= t_п(2)-t_р(2)=3-2=1;

R(3)= t_п(3)-t_р(3)=4-4=0;

R(4)= t_п(4)-t_р(4)=9-9=0;

R(5)= t_п(5)-t_р(5)=13-13=0;

R(6)= t_п(6)-t_р(6)=18-18=0.

Таким образом, можно задержать свершение события 2 на 1 день. Остальные события 1, 3, 4, 5 и 6 не имеют резерва времени. Поэтому они принадлежат критическому пути. Если бы ранее мы не выделили критический путь на сетевом графике, то можно было бы провести его сейчас, после расчетов резервов времени событий, через события 1, 3, 4, 5 и 6. Для проверки следует сложить продолжительности работ этого полного пути, которые в сумме должны быть равны критическому сроку: 4+5+4+5=18=t_кр

Резерв могут иметь не только события, но и работы проекта.

Полный резерв времени работы показывает, как можно увеличить время выполнения этой работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.

Резервы работ определяются на основе параметров свершения событий по следующей формуле:

Рассчитаем резервы работ примера:

R(1,2)=t_п(2)-t_р(1)-t(1,2)=3-0-2=1;

R(1,3)=t_п(3)-t_р(1)-t(1,3)=4-0-4=0;

R(2,3)=t_п(3)-t_р(2)-t(2,3)=4-2-1=1;

R(2,4)=t_п(4)-t_р(2)-t(2,4)=9-2-2=5;

R(2,6)=t_п(6)-t_р(2)-t(2,6)=18-2-3=13;

R(3,4)=t_п(4)-t_р(3)-t(3,4)=9-4-5=0;

R(4,5)=t_п(5)-t_р(4)-t(4,5)=13-9-4=0;

R(5,6)=t_п(6)-t_р(5)-t(5,6)=18-13-5=0.

Критические работы резервов времени не имеют, т.е. еще раз убеждаемся в том, что критический путь мы выделили правильно.

Резервы времени работ рассчитываются для организации контроля над выполнением проекта. Кроме того, зная эти резервы, можно оптимизировать срок выполнения проекта. Например, можно забрать ресурсы у тех работ, которые имеют резерв времени (снять часть рабочих с этих работ или урезать их финансирование) и передать их работам, лежащим на критическом пути. Тогда критические работы смогут быть выполнены раньше, что повлечет уменьшение критического срока всего проекта. Поскольку при таком перераспределении ресурсов критический путь может измениться, задача оптимизации критического срока является многоэтапной и может быть решена с использованием компьютера.

Примеры тестовых заданий по теме 2

1. Для представленного на рисунке сетевого графика определите
a) критический срок;

b) ранний срок свершения события 3;

c) поздний срок свершения события 3.

Ответы: a) 11. Перебираем все полные пути: t(1-2-4)=2+9=11; t(1-2-3-4)=2+4+1=7;

t(1-3-4)=8+1=9. Выбираем наибольшую продолжительность.

b) 8. По определению t_р(1)=0. Ранний срок события 2 равен t_р(2)=0+2=2. В событие 3 входят две работы, поэтому находим максимум по этим работам: t_р(3)=max(0+8;2+4)=8.

c) 10. Поздний срок события 4 по определению равен критическому сроку, т.е. t_п(4)=11. Из события 3 выходит одна работа, поэтому t_п(3)=11-1=10.

2. Для работы (i,j), показанной на рисунке, рассчитаны параметры свершения событий. Определить:

a) полный резерв времени этой работы;

b) резерв события i;

c) резерв события j;

Ответы: a) 5 ( R(i,j)=14-1-8=5).

b) 1 (R(i)=2-1=1).

c) 3 (R(j)=14-11).

Примеры тестовых заданий по теме 3

1. Что является критерием оптимальности в модели Уилсона?

a) объем партии товара

b) скорость расходования товара со склада

c) общие затраты склада в единицу времени

d) затраты склада на хранение в единицу времени

e) затраты склада на заказ одной партии товара

f) интервал времени между поставками

Ответ: c)

2. Стоимость организации заказа одной партии товара равна 100 у.е. Объем поставляемой партии – 50 шт. По формуле Уилсона рассчитан оптимальный объем партии, равный 20 шт. Какова будет стоимость организации заказа такой партии?

a) 20 у.е.

b) 40 у.е

c) 50 у.е.

d) 100 у.е.

e) 2000 у.е.

Ответ: 100 у.е., т.к. в модели Уилсона стоимость заказа одной партии товара не зависит от ее объема.

3. Какой показатель соответствует обозначению h в формуле Уилсона?

a) оптимальный объем партии товара

b) стоимость хранения единицы запаса в единицу времени

c) стоимость организации заказа одной партии товара

d) скорость расходования товара со склада

e) интервал времени между поставками товара

Ответ: b)

ТЕМА 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Системы массового обслуживания (СМО) представляют собой системы, в которых возникают массовые запросы на выполнение каких-либо услуг, а также происходит удовлетворение этих запросов.

Система массового обслуживания – это система, предназначенная для обслуживания потока заявок (требований) специальными каналами обслуживания (обслуживающими устройствами).

Примеры заявок: покупатели, приходящие в магазин; клиенты в парикмахерской; телефонные вызовы в сети; бытовая техника, поступающая на ремонт в мастерскую. Примеры каналов обслуживания: продавец в магазине, кассир за кассой, мастер по ремонту бытовой техники, парикмахер и т.д.

Заявки поступают в систему в заранее неизвестные, случайные моменты времени. Время обслуживания каждой заявки также является случайной величиной и зависит от многих факторов (например, от характера поломки бытового прибора зависит время его ремонта, от запросов и возраста покупателя – время его обслуживания продавцом и т.д.).

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания обуславливает неравномерность загрузки системы: на входе могут накапливаться ожидающие обслуживания заявки, и образуется очередь, либо заявок нет, и каналы простаивают.

Структура СМО показана схематически на рисунке 4.1.

1 – входящий поток заявок;

2 – очередь;

3 – каналы обслуживания;

4 – выходящий поток обслуженных заявок;

5 – заявки, получившие отказ в обслуживании.

Рисунок 4.1 – Структура системы массового обслуживания

Целью теории массового обслуживания является выработка рекомендаций по рациональному построению СМО. Например, требуется определить рациональное число каналов обслуживания, при которых с одной стороны, не возникает бесконечных очередей и время ожидания в очереди является приемлемой величиной, а с другой – нет значительных простоев каналов, поскольку организация каждого канала связана с материальными затратами. Так, например, при организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых точек определенного профиля, численность продавцов, необходимые размеры торгового зала и другие параметры.

Существует несколько признаков классификации СМО:

1.По числу каналов обслуживания различают одноканальные, многоканальныеи многофазные СМО.Если каналы выполняют параллельную обработку сразу нескольких заявок, то система называется многоканальной (кассовые аппараты в магазине самообслуживания). В многофазной системе процесс обслуживания заявки состоит из нескольких этапов, выполняемых последовательно друг за другом на различных каналах обслуживания (партия изделий последовательно обрабатывается в ряде цехов).

2.По правилам обслуживания различают три класса СМО:

1) СМО с отказами -если нет свободных каналов, заявка покидает систему (например, если занята телефонная линия и в трубке раздаются короткие гудки, то абонент получает отказ в обслуживании: кладет трубку)

2) СМО с ожиданием -если нет свободных каналов, заявка ожидает в очереди (это обычные очереди в магазине, поликлинике)

3) СМО с ограниченной длиной очереди –число мест для ожидания в очереди ограничено. Отказ в обслуживании происходит, если все каналы заняты и нет мест в очереди. Например, в автосервисе имеется определенное число мест для парковки ожидающих машин. Если все эти места заняты, то очередной приехавший автомобиль получает отказ в обслуживании.

3.По дисциплине очереди (способу отбора заявок из очереди на обслуживание) различают:

1) Очередь FIFO(первый пришел - первый обслужен).

2) Очередь LIFO (последний пришел – первый обслужен).

3) Очередь с приоритетом. Некоторые заявки на основании каких-то признаков получают преимущество (приоритет) в выборе на обслуживание перед другими. Например, ветераны и участники войны в поликлинике пропускаются без очереди.

4.По характеру входящего потока заявок различают:

1) Замкнутые СМО,в которых обслуженная заявка через какой-то промежуток времени вновь возвращается в систему (отремонтированный станок в цеху опять ломается, посуда в общественной столовой опять загрязняется и т.д.).

2) Разомкнутые (открытые) СМО,в которых входящий поток заявок не зависит от выходящего и ничем не ограничивается. (Заявки поступают в систему извне, от некоторого бесконечного источника заявок).

В настоящее время теоретически наиболее исследованы системы массового обслуживания, которые называются простейшими. Простейшей системой массового обслуживания называется такая система, в которой:

1) входящий поток заявок является простейшим (пуассоновским);

2) время обслуживания заявки каждым каналом имеет экспоненциальный закон распределения.

Простейший (пуассоновский) входящий поток заявокобладает тремя основными свойствами:

1) ординарность означает, что практически невозможно одновременное поступление двух и более заявок (невозможен одновременный выход из строя двух станков, одновременный приход двух покупателей и т.д.).

2) стационарность означает, что среднее число заявок, поступающих в единицу времени, постоянно. Таким образом, хотя заявки и поступают в случайные моменты времени, в среднем поток является равномерным.

Обозначим: - среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени (например, среднее число телевизоров, поступающих в мастерскую по ремонту за день).

3) отсутствие последействия означает, что количество заявок, уже поступивших в систему, не определяет того, сколько заявок поступит далее (например, если произошел обрыв нити на ткацком станке, то это не означает, что его не будет в следующий момент времени, и, тем более, что его не будет на других станках).

Экспоненциальный закон времени обслуживания заявок имеет параметр , который обозначает среднее число заявок, которое может обслужить один канал за единицу времени. Например, - это среднее число телевизоров, которые может отремонтировать один мастер за день. Величина обратно пропорциональна среднему времени обслуживания одной заявки Т_об :

.

Для простейшей системы массового обслуживания всегда рассчитывается величина

.

Если рассматривается система с ожиданием в очереди, причем размер очереди не ограничен, то означает среднее число каналов, которые необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие заявки.

Пусть n - число действительно имеющихся в системе каналов обслуживания (например, число мастеров в телеателье). Тогда условием работоспособности простейшей СМО с ожиданием является выполнение соотношения:

.

Если это условие не выполняется, то каналы не будут справляться с обслуживанием всех заявок, очередь будет расти бесконечно, и система просто захлебнется в потоке заявок.

При оценке качества работы СМО рассчитывается ряд показателей эффективности работы системы:

1) среднее время ожидания в очереди;

2) средняя длина очереди;

3) вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (не получит отказ);

4) среднее число занятых обслуживанием каналов;

5) среднее число заявок, которые обслуживаются системой за единицу времени (интенсивность выходящего потока обслуженных заявок);

6) и др.

По совокупности значений этих показателей можно судить о том, насколько эффективно организована работа системы. Величина средней длины очереди важна также для расчета площадей торговых залов или складских помещений (например, предназначенных для хранения бытовых приборов, ожидающих ремонта).

Примеры тестовых заданий по теме 4

1. В пункте обмена валют работает один оператор и по соображениям безопасности должно находиться не более трех клиентов. Если очередной клиент приходит в тот момент, когда помещение заполнено, его не пропускает охранник, и он уходит в другой банк. Определите тип данной системы массового обслуживания. Возможно несколько правильных ответов.

1) одноканальная;

2) многоканальная;

3) с отказами;

4) с ожиданием;

5) с неограниченной очередью;

6) с ограниченнной очередью

Верные ответы 1), 4) и 6).

2. Какая характеристика простейшей системы массового обслуживания обозначается буквой ?

1) среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени;

2) среднее число заявок, которые может обслужить канал за единицу времени;

3) среднее число каналов в системе, которое нужно иметь, чтобы за единицу времени обслуживать все поступающие требования;

4) среднее время обслуживания одной заявки;

5) число каналов в системе.

Ответ: 2).

3. Как называется свойство простейшего потока заявок, которое означает, что среднее число заявок, поступающих в единицу времени, постоянно?

1) открытость

2) замкнутость

3) ординарность

4) динамичность

5) стационарность

6) отсутствие последействия

7) отсутствие очереди

Ответ: 5).

ТЕМА 5. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

Основные понятия теории игр

Игройназывается математическая модель конфликтной ситуации, реализующейся в условиях неопределенности.

Например, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. Каждое из конкурирующих предприятий преследует свои цели, поэтому имеет место конфликтная ситуация. Однако невозможно полностью контролировать деятельность конкурентов, можно только предполагать возможные варианты их действий. Поэтому решение приходится принимать в условиях неопределенности.

Исследованием конфликтных ситуаций занимается теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников; существуют игры с бесконечным множеством игроков.

По характеру выигрышей выделяют игры с нулевой суммой и с ненулевой суммой. В первых общий капитал игроков не изменяется, а лишь перераспределяется в ходе игры, поэтому сумма выигрышей равна нулю (проигрыш рассматривается как отрицательный выигрыш). В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при организации лотереи часть общего взноса участников не участвует в формировании призового фонда, а идет организатору лотереи.

Игры, в которых оба участника сознательно стремятся добиться для себя наилучшего результата, называются стратегическими. В экономической практике нередко приходится моделировать ситуации, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют статистическими или играми с природой. Под термином “природа” понимают всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решение (погодн