Действия с матрицами. свойства

Сложение и вычитание.

Операция сложения и вычитания матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пример 2: В 2007 году фирма «Дефис» реализует четыре группы канцелярских товаров предприятиям в три района г. Тюмени.

Ежегодные продажи (в единицах). Таблица 2.

Вид продукции	Районы продажи
Центральный	Тюменский	Ленинский

Содержание таблицы запишем в форме матрицы

Аналогичные заявки на канцелярские товары в следующем году

Элементы этой матрицы характеризуют объём продаж различных видов продукции предприятиям каждого района на протяжении двух лет.

Суммой двух матриц А=(а_ij) и B=(b_ij) называется матрица C=(c_ij) такая, что с_ij=a_ij+b_ij (i= , j= ).

Пример 3:

.

и нельзя складывать!!!

Свойства сложения матриц:

1. А+В=В+А;

2. (А+В)+С=А+(В+С);

3. А+0=А;

4. А-А=0,

где А, В, С- матрицы.

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число.

Произведением матрицы А=(а_ij) на число k называется матрица В=(b_ij) такая, что b_ij=k^..a_ij (i= , j= ).

Пример 4:

А= , k=4, А^.k= .

Матрица –А=(-1)^.А называется противоположной матрице А.

Свойства умножения матриц на число:

1. ^.А=

2. ^.(А+В)= ;

3. ^.А= ;

4. ^.( )=( )^.А,

где А, В- матрицы, -числа.

Произведение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_{m n}=(a_ij) на матрицу B_{n p}=(b_jk) называется матрица С_{m p}=(c_ik) такая, что

c_ik=a_i1 ^.b_1k+a_i2 ^.b_2k+…+a_in ^.b_nk

Пример 5:Группировка продаж по различным филиалам фирмы «Башмачок» представлена таблицей:

Таблица 3.

Филиалы	Вид продукции и его цена (руб.)
I (2 тыс.)	II (3 тыс.)	III (5 тыс.)
Продано единиц
Продажа за рубежом.   Розничная продажа   Продажа другим фирмам

Выручка от продаж фирмы запишется:

Из данного примера видно, что при умножении двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

В общем виде:

; ;

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА, в противном случае равенство не верно.

Свойства умножения матриц:

1. АВ ВА

2. А^.(В^.С)=(А^.В)^.С;

3. А^.(В+С)=АВ+АС;

4. (А+В)^.С=АС+ВС;

5. (АВ)=( А)В.

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:

1. (А^Т)^Т=А;

2. (А+В)^Т=А^Т+В^Т;

3. (АВ)^Т=В^{Т .}А^Т.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

Определители 2-го порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка

А= .

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число, равное а₁₁^.а₂₂ – а₁₂^.а₂₁ и обозначается или detА (детерминант А).

.

Элементы матрицы А называются элементами определителя . Элементы а₁₁, а₂₂ образуют главную диагональ, а элементы а₂₁а₁₂ – второстепенную (правую).