ЕщЕ действия над матрицами

а) Произведение матриц С_nk = A_nmB_mk определим по правилу: c_ij = (это правило в обиходе называется: умножение строка на столбец).

Пример: , но . Из определения произведения матриц ясно, что матрицы можно умножать не всегда, а только если количество элементов в строке 1^ой матрицы и количество элементов в столбце 2^ой матрицы совпадают. Кроме того, видно, что операция умножения матриц, вообще говоря, не коммутативна.

Можно отметить следующие свойства операции умножения матриц:

а1) А(ВС) = (АВ)С – ассоциативный закон;

а2) А(В + С) = АВ + АС – левый и

а3) (А + В)С = АС + ВС правый дистрибутивные законы.

Def: Если в линейном пространстве V над полем К, корректным образом, введена еще одна внутренняя операция, удовлетворяющая свойствам:

a⊙(х⊗у) = (a⊙х)⊗у = х⊗(a⊙у);

х⊗(у⊗z) = (х⊗у)⊗z; 3) (х ⊕ у)⊗z = х⊗z ⊕ у⊗z,

то линейное пространство над полем К называется алгеброй.

Таким образом, определив операцию умножения матриц, удовлетворяющую свойствам а1), а2), а3) мы можем говорить об алгебре матриц (для квадратных матриц).

б) Транспонирование матриц А^Т Û = а_ji.

Пример: .

Свойства операции транспонирования:

б1) (aА)^Т = aА^Т;

б2) (А + В)^Т = А^Т + В^Т;

б3) (А×В)^Т = А^ТВ^Т.

в) Для матриц с комплексными элементами – операция комплексного сопряжения. .

г) Для матриц с комплексными элементами – операция эрмитового сопряжения. (для операции эрмитового сопряжения, математики чаще употребляют значок А^*, а физики А⁺).

Свойства операции эрмитового сопряжения:

г1) ; г2) ; г3) ;

г4) ; г5) .

Примеры: ; ; ; .

Элементы а₁₁, а₂₂, …, a_nn – называются диагональными (главными диагональными) элементами матрицы.

Если "i > j a_ij = 0 матрица называется матрицей нижнего треугольного вида, если "i < j a_ij = 0 – матрицей верхнего треугольного вида:

; .

нижний верхний

треугольный треугольный

вид вид

Примечание: Если А^* = А, то матрица называется эрмитовой (самосопряженной).

В вещественном пространстве матрица А, удовлетворяющая условию: АА^Т = А^ТА = Е называется ортогональной, а комплексном пространстве – унитарной.

РАЗДЕЛ 2. Евклидовы и унитарные пространства

ЕвклидовО пространствО

Пусть V линейное пространство над полем R. Говорят, что в V введено скалярное произведение, если "x, y ÎV $a = (x, y)ÎR. такое, что:

а) (х, у) = (у, х); б) (lх, у) = l(х, у),lÎR.

в) (х + у, z) = (x, z) + (y, z); г) (х, х)≥ 0, при этом (х, х) = 0Û х = q.

Примеры скалярных произведений:

1) В арифметическом пространстве А_n с базисом {e₁, e₂, …, e_n} если , скалярное произведение можно вести по правилу: .

2) В пространстве C_{[a, b]} функций непрерывных на [a, b] по правилу:

.

Конечномерное вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Свойства скалярного произведения в