Тема 7. выборочное наблюдение
Формулы для определения ошибок и численности выборки
| Способ формирования выборки | Средняя ошибка выборочной средней | Предельная ошибка выборочной средней | Необходимая численность выборки |
| Случайный повторный |  |  |  |
| Случайный бесповторный |  |  |  |
| Механический |  |  |  |
| Типический |  |  |  |
| Серийный |  |  |  |
где: μ – средняя ошибка выборки (репрезентативности);
∆х – предельная ошибка выборочной средней;
– среднее квадратическое отклонение;
– групповая дисперсия;
– межсерийная дисперсия;
t – кратность ошибки;
n – численность выборки (ni – типической, r – серийной);
N – численность генеральной совокупности (Ni – типической,
R – серийной);
– обследованная часть совокупности (доля выборки);
– необследованная часть совокупности;
Р – вероятность средней ошибки [F(t)] (см. приложение 1).
Средняя ошибка выборки для доли совокупности определяется при отборе:
· повторном 
;
· бесповторном 
,
где: 
– доля данного признака в выборке;
– доля противоположного признака в выборке.
Содержание практического занятия: решение задач, связанных с определением способа отбора и процедуры выборки, вычислением ошибок выборки и необходимого объема выборной совокупности.
Задача 1. При бесповторном отборе 400 (n) предприятий их 1000 (N) имеющихся в регионе установлено, что 36 % (w) предприятий оказались в отчетном году убыточными. В каких пределах с вероятностью P = 0,95 заключена генеральная доля убыточных предприятий?
Порядок решения задачи:
1) Поскольку отбор бесповторный, а отношение 
довольно велико, ошибку репрезентативности доли найдём по формуле:
=
2) Генеральная доля убыточных предприятий с вероятностью 0,95 заключена в пределах:
=
от _____________ до _____________
Вывод:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 2. На предприятии у 400 (n) работников, при выборочном обследовании средняя зарплата составила 7020 руб. ( 
), при среднем квадратическом отклонении 495 руб. ( 
). С какой вероятностью (P) можно гарантировать, что ошибка репрезентативности (ΔХ) не превосходит 80 руб.?
Порядок решения задачи:
1) Из формулы 
находим:
=
2) Далее по таблицам интегральной функции нормального распределения определяем вероятность (Р) или 
, далее делается заключение о степени надежности выборочного обследования. Итак Р =
Вывод:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 3. При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий (n). В результате был установлен средний вес изделия 30 гр. ( ) при среднем квадратичном отклонении 4г. ( ). С вероятностью 0,997 (Р) определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.
Порядок решения задачи:
1) Предельная ошибка выборки составит:
=
2) Определим пределы генеральной средней:
от _____________ до _____________
Вывод:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 4. В области, состоящей из 20 районов ( 
), производилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (4 районов – 
). Выборочные средние по районам составили 14,5 ц/га; 16;15,5; и 14 ц/га ( 
). С вероятностью 0,954 (Р) найдите пределы урожайности по всей области.
Порядок решения задачи:
1) Рассчитаем общую среднюю урожайность по формуле средней арифметической простой:
2) Межгрупповая (межсерийная) дисперсия:
=
3) Определим предельную ошибку серийной бесповторной выборки:
=
4) Найдём пределы средней урожайности в области:
Выводы:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 5. Для определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет, была организована типическая выборка пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников – 12000 ( 
) человек, в том числе: 7000 ( 
) мужчин и 5000 ( 
) женщин. На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составило 1600 ( 
). Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 (Р) и ошибке 5% (ΔХ).
Порядок решения задачи:
1) Определим общую численность типической выборки:
=
2) Далее необходимо вычислить объём отдельных типических групп (раздельно мужчин и женщин), путём умножения общей численности типической выборки на число мужчин и женщин по отдельности и деления на общее число сотрудников.
· численность мужчин: 
· численность женщин: 
Выводы:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 6. В порядке случайной выборки обследован дневной надой молока 50 коров. Результаты обследования приведены в таблице.
| Дневная удойность, кг | Количество коров |
| 10-14 14-18 18-22 Свыше 22 | |
| Итого |
Определить: ;
1) по выборочным данным средний дневной надой молока от одной коровы;
2) среднюю ошибку выборки;
3) вероятность того, что при определении выборочного среднего надоя молока допущена ошибка, не превышающая 1 кг. |
Решение:
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 7. Намечается провести выборочное обследование покупателей в одном из крупных универмагов города в целях определения доли покупателей из других городов. Каким должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью 0,9545 можно было гарантировать точность результата до 5%.
Решение:
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 8. На предприятии выборочно проверен стаж работы у 120 мужчин и 80 женщин. Результаты наблюдения следующие:
| Группа рабочих | Численность работников | Средний стаж работы, лет | Среднее квадратическое отклонение стажа, лет °/ |
| Мужчины Женщины |
1. Рассчитать общий средний стаж работы для рабочих по выборочным данным.
2. С вероятностью 0,954 определить доверительные пределы среднего стажа работы рабочих в генеральной совокупности.
Решение:
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Контрольные вопросы.
1. Неизбежная при выборочном наблюдении ошибка репрезентативности: а) систематическая; б) случайная. Соблюдение принципа случайности отбора при формировании выборочной совокупности позволяет устранить ошибку репрезентативности: в) систематическую; г) случайную.
2. При переписи населения 1970г. 25% населения отвечало на дополнительные семь вопросов переписного листа. В выборку попало каждое четвертое жилое помещение (квартира). Был проведен отбор: 1) типический; 2) серийный; 3) механический; 4) собственно -случайный.
3. По выборочным данным (2%-ный отбор) удельный, вес неуспевающих студентов на III курсе составил 10%, на II курсе— 15%. При одинаковой численности выборки ошибка выборки для доли неуспевающих студентов больше: 1) на III курсе; 2) на II курсе; 3) ошибки равны; 4) данные не позволяют сделать вывод.
4. На машиностроительном заводе города рабочие распределяются по 100 производственным бригадам. Численности рабочих в бригадах одинаковые. Методом бесповторной выборки отобрали 36 бригад. По данным выборки средний производственный стаж рабочих—семь лет. Межсерийная дисперсия равна 9. Определите ошибку выборки с вероятностью 0,951.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ТЕМА 8. ИНДЕКСЫ
Содержание практического занятия: Решение задач на определение индексов и взаимосвязь конкретных индексов, индексный анализ урожая и урожайности и валового сбора по группе однородных культур.
Задача 1. По имеющимся данным о реализации мясной продукции на городском рынке определите:
- индивидуальные индексы цен на продукцию;
- общий индекс товарооборота;
- сводный индекс цен;
- величину экономии (перерасхода);
- индекс физического объема;
- покажите взаимосвязь индексов;
- проанализируйте вычисленные показатели.
Таблица 1 – Реализация мясных продуктов на городском рынке
| Продукты | Продано (ц). | Цена за 1 кг, (руб.) | Стоимость реализованной продукции, руб. | ||||
| май (q0) | июнь (q1) | май (p0) | июнь (p1) | май (q0p0) | июнь (q1p1) | усл. (q1p0) | |
| Говядина | 26,3 | 24,1 | |||||
| Баранина | 8,8 | 9,2 | |||||
| Свинина | 14,5 | 12,3 | |||||
| Итого: | – | – | – | – |
Порядок выполнения задания:
1) Определим по каждому виду продукции индивидуальные индексы цен по формуле:
,
а) по говядине: ip =
б) по баранине: ip =
в) по свинине: ip =
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Общий индекс товарооборота можно рассчитать по формуле:
=
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
3) Вычислим сводный индекс цен:
=
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________
4) Числитель и знаменатель сводного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денежных средств фактически уплаченных покупателями за приобретённые в текущем периоде товары. Знаменатель же показывает, какую сумму заплатили бы покупатели за те же товары, если бы цены не изменились. Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак минус) или перерасхода (если знак плюс) денежных средств покупателями в результате изменения цен:
=
____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5) Индекс физического объёма реализации составит:
=
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6) Используя взаимосвязь индексов, проверим правильность вычислений:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 2. Известны следующие исходные данные:
Таблица 2 – Производство и себестоимость товара А
| Регион | Себестоимость (тыс. руб.) | Произведено (шт.) | Общая себестоимость всей продукции, тыс. руб. | ||||
| баз. год (Z0) | отч. год (Z1) | баз. год (q0) | отч. год (q1) | баз. год (Z0q0) | отч. год (Z1q1) | усл. пер (Z0q1) | |
| Итого: | – | – |
Произведите анализ изменения себестоимости товара А в двух регионах, для чего рассчитайте индексы себестоимости фиксированного и переменного состава, индекс структурных сдвигов, а также покажите взаимосвязь индексов, сделайте выводы.
Порядок выполнения задания:
1) Вычислим индекс себестоимости переменного состава:
=
________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Определим индекс себестоимости фиксированного (постоянного) состава:
=
________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
3) Рассчитаем индекс структурных сдвигов:
Первая часть этого выражения позволяет ответить на вопрос, какой была бы средняя себестоимость товара А в отчётном году, если бы себестоимость в каждом регионе сохранилась на уровне базисного периода. Вторая часть отражает фактическую среднюю себестоимость базисного года.
________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________
4) Взаимосвязь индексов выглядит следующим образом:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 3.По данным таблицы 3 определите:
- общие индексы производительности труда и трудоемкости;
- изменение физического объема производства продукции в отчетном году по сравнению с базисным;
- влияние изменения физического объема продукции и трудоемкости на изменение общих затрат труда.
Таблица 3 – Затраты труда на производство продукции
| Вид продукции | Произведено продукции, ц | Затраты труда на 1ц чел./час. | Затраты труда всего чел./час. | ||||
| баз. год (q0) | отч. год (q1) | баз. год (t0) | отч. год (t1) | баз. год (t0q0) | отч. год (t1q1) | усл. пер. (t0q1) | |
| Сахарная свекла | 1,5 | 1,3 | |||||
| Зерно | 2,7 | 2,5 | |||||
| Молоко | 10,0 | 9,0 | |||||
| Итого: | – | – | – | – |
Порядок выполнения задания:
1) Индекс производительности труда:
=
2) Абсолютная экономия затрат времени на производство продукции составила:
=
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) Поскольку трудоёмкость это обратный показатель производительности труда, то индекс трудоёмкости выглядит следующим образом:
=
4) Найдём изменение физического объёма произведённой продукции: 
,
а) зерно: ∆q =
б) сахарная свекла: ∆q =
в) молоко: ∆q =
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5) Изменение общих затрат в отчётном году по сравнению с базисным составило:
=
в том числе за счёт изменения:
· физического объёма продукции:
=
· трудоёмкости:
=
Выводы:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 4. Имеются следующие данные о стоимости реализованной продукции в СХП:
Таблица 4 – Реализация продукции в СХП
| Виды продукции | Стоимость продукции, тыс. руб. | Превышение средних цен реализации в отч. году, % | |
| баз. год | отч. год | ||
| Молоко | |||
| Картофель | |||
| КРС на мясо |
Вычислите изменение стоимостного объема реализованной продукции (выручки) в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения физического объема продукции и средних цен реализации, сделайте выводы.
Порядок выполнения задания:
1) Для облегчения вычислений подготовим вспомогательную таблицу, и все промежуточные расчёты занесём в неё:
Таблица 5 – Реализация продукции в СХП
| Виды продукции | Стоимость продук-ции, тыс. руб. | Превышение средних цен реализации в отч. году, % | Расчётные данные | ||
баз. год (  ) | баз. год (  ) | (  ) | (  ) | ||
| Молоко | |||||
| Картофель | |||||
| КРС на мясо | |||||
| Итого: | – | – |
2) Определим индивидуальные индексы цен:
,
а) по молоку:
б) по картофелю:
в) по мясу КРС:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) По каждому виду продукции определим отношение стоимости продажи продукции в текущем году к индивидуальному индексу цен:
,
а) по молоку:
б) по картофелю:
в) по мясу КРС:
4) Найдём общий индекс цен:
=
5) Абсолютный прирост товарооборота в отчётном году по сравнению с базисным в результате повышения цен на продукцию составит:
=
6) Рассчитаем общий индекс физического объёма товарооборота в базисных ценах:
=
7) Прирост суммы товарооборота в отчётном периоде в результате изменения физического объема продукции:
=
8) Определим общий индекс товарооборота:
=
9) Вычислимобщее изменение стоимостного объёма реализованной продукции:
=
Выводы:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 5.Известны следующие данные о производстве одноименного продукта по двум фабрикам:
| Фабрика | Произведено, тыс. ед. | Себестоимость единицы продукта, руб. | ||
| Базисный период q0 | Отчетный период q1 | Базисный период z0 | Отчетный период z1 | |
| №1 | ||||
| №2 | ||||
| Итого | - | - |
Определите:
1. общий индекс себестоимости, общий индекс общих затрат на производство и общий индекс количества произведенного продукта;
2. общие индексы себестоимости переменного, постоянного составов и структурных сдвигов;
3. абсолютный прирост средней себестоимости за счет изменения себестоимости на каждом предприятии и структуры произведенной продукции;
4. абсолютное изменение общих затрат на производство всего и в том числе за счет изменения себестоимости и количества произведенной продукции.
Сделайте выводы.
Решение:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 6. Определить:
1) индивидуальные индексы цен;
2) сводный индекс цен:
а) по формуле агрегатного индекса;
б) по формуле среднегармонического индекса;
3) сводные индексы товарооборота и физического объема продажи товаров;
4) проверьте правильность расчетов, используя взаимосвязь индексов.
Сделайте выводы.
Динамика реализации сельскохозяйственных продуктов
на рынках города
| Наименование товара | Апрель | Май | ||
| Количество проданных товаров | Оборот, млн. руб. | Количество проданных товаров | Оборот, млн. руб. | |
| Картофель поздний, ц | 249,4 | 37,4 | 238,0 | 32,1 |
| Капуста, ц | 40,5 | 20,3 | 30,5 | 13,7 |
| Лук репчатый, ц | 65,4 | 45,2 | 45,8 | 29,8 |
| Свекла столовая, ц | 36,4 | 12,7 | 25,5 | 8,9 |
| Морковь, ц | 28,8 | 28,9 | 22,7 | 22,7 |
| Огурцы, ц | 30,6 | 18,4 | 23,3 | 14,0 |
| Помидоры, ц | 17,8 | 8,9 | 10,9 | 5,5 |
Решение:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 7. Определить индексы постоянного, переменного состава и структурных сдвигов.
| Показатели | 1 предприятие | 2 предприятие | 3 предприятие | 4 предприятие | ||||||||
| Фактическая численность, чел. | 197,0 | 270,8 | 1429,0 | 1250,0 | 8020,9 | 7916,7 | 727,3 | 917,4 | ||||
| Фонд заработной платы, тыс.руб. | 5153.3 | |||||||||||
| Средняя заработная плата, тыс.руб. | 0,423 | 0,326 | 0,262 | 0,291 | 0,454 | 0,442 | 0,509 | 0,468 | ||||
Решение:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 8. Определить среднее изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным по следующим данным:
| Наименование изделий | Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, % | Продано в отчетном периоде, млн.руб. |
| -20 | ||
| -15 | ||
| +8 |
Решение:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задача 9. Определить изменение выпуска продукции в мае по сравнению с апрелем.
| Наименование изделий | Изменение выпуска в мае по сравнению с апрелем, % | Выпуск продукции в апреле, млн.руб. |
| +2 | ||
| -5 | ||
| +11 |
Решение:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Контрольные вопросы:
1. В чем измеряются индексы:
а) в процентах
б) в стоимостном выражении
в) в безразмерных величинах
2. Индексы используются в анализе для: а) изучения динамики общественных явлений; б) сравнения уровней экономического явления по различным территориям и объектам.
3. Укажите, какой из индексов является среднегармоническим взвешенным индексом цен, тождественным агрегатной форме
1 
2 
3 
4 
4. Средняя себестоимость кирпича по двум кирпичным заводам в отчетном периоде по сравнению с базисным снизилась на 25% за счет снижения себестоимости по каждому из заводов и повысилась на 20% за счет структурных сдвигов. Определите индекс себестоимости переменного состава.
5. Индивидуальный индекс представляет собой результат сравнения двух одноименные величин: а) различных периодов времени; б) различных территорий.