Принятие решений в условиях риска в рамках теории игр

В случае, когда каким-то образом можно оценить вероятность проявления состояний К₁, К₂, К₃ говорят не о состоянии неопределенности, а о состоянии риска. При этом методы принятия решений в условиях риска разрабатываются и основываются в рамках так называемой теории статистических решений.

Критерием решения является максимум ожидаемого среднего выигрыша (для матрицы типа А) или минимум среднего ожидаемого риска (для матрицы типа R).

Если для некоторой игры с природой, задаваемой матрицей выигрыша А, стратегии природы К_j соответствует вероятность р_j то лучшей стратегией будет та, которая обеспечит максимальный средний выигрыш:

Применительно к матрице убытков лучшей стратегий будет та, которая, минимизирует средний риск:

Независимо оттого, минимизируются убытки или максимизируется выигрыш, оптимальное решение обеспечивается при одной и той же стратегии.

Рассмотрим пример,знакомый по предыдущему параграфу. Возьмем следующую матрицу А и матрицу R при условии, что р₁ = 0,2, р₂ = 0,5, р₃ = 0,3:

А =		П1	П2	П3	,R=		П1	П2	П3
Р1				Р1
Р2				Р2
Р3				Р3
Р4				Р4

Найдем лучшие стратегии на обеих матрицах.

Для игры, задаваемой матрицей А, при критерии:

максимум достигнут на ___ стратегии. Поскольку стратегия ___ при заданных вероятностях позволяет ожидать большей прибыли, чем другие стратегии, она признается самой эффективной.

Для игры, задаваемой матрицей R при критерии:

Минимум достигнут на ___ стратегии.

Поскольку стратегия ___ при заданных вероятностях приводит к меньшим убыткам, чем другие стратегии, она признается самой эффективной. На практике целесообразно отдавать предпочтение матрице выигрышей или матрице убытков в зависимости оттого, какая из них определяется с большей достоверностью.

Управление процентным риском с помощью дюрации

Дюрация используется для оценки процентного риска. Понятие «дюрация» введено Фредериком Р. Маколеем в 1930-е годы для решения вопроса, какую из двух облигаций с одинаковой доходностью стоит купить. Маколей предложил рассчитать средневзвешенную продолжительность существования облигации:

где dur -дюрация;

CF_t - текущие денежные потоки по данному обязательству;

Т- срок до погашения;

m - количество выплат в году;

N – номинал;

t – время погашения.

Величина дюрации часто модифицируется корректировкой на ставку процента. Полученная величина носит название модифицированной дюрации:

,

где r - доходность обязательства; m – количество выплат в году.

Модифицированная дюрация показывает долю, на которую изменится цена облигации при изменении доходности на 1%.

Дюрация позволяет сравнивать два обязательства по отношению к процентному риску, которому ониподвержены. Дюрацию также можно использовать для оценки процентного риска портфелей обязательств.

Рассмотрим сказанное на примере. Имеем две облигации со сроком погашения четыре года, номинал первой облигации, облигации А - 1000 руб. с 10-процентным купоном, номинал облигации Б -1464 руб. с нулевым купоном. Обе облигации принадлежат к одному классу надежности, и инвесторы ожидают доходности от облигаций такого класса на уровне 10%.

Рассчитаем текущую цену облигаций, используя известную формулу:

Результаты расчетов показывают, что обе ценные бумаги имеют ___________ цену. Посмотрим теперь на дюрацию.

Получаем, что облигация ____ более подвержена процентному риску и инвестору следует остановиться на облигации ____.

Пример.Использование дюрации для снижения процентного риска.

Инвестиционная компания разместила на рынке 5-летнюю облигацию с 10% купоном и номиналом 1000 руб. по цене номинала. Вырученные от продажи денежные средства планируется разместить в следующие виды активов:

• облигация А, с купоном в 12%, срок погашения 10 лет, цена на рынке совпадает с номиналом;

• вексель Б, 2-годичный, номиналом 1000 руб., продается на рынке с доходностью 14%. Требуетсясформировать портфель активов, иммунизированный по отношению к процентной ставке, используя дюрацию.

1. Рассчитаем дюрацию обязательства.

Период, год	Поток наличности CFi	Текущая стоимость	Дюрация
∑
Модифицированная дюрация dur*=
2. Рассчитаем дюрацию облигации
Период, год	Поток наличности CFi	Текущая стоимость	Дюрация
∑
Модифицированная дюрация dur*=

3. Рассчитаем дюрацию векселя Б

Период, год	Поток наличности CFi	Текущая стоимость	Дюрация
∑
Модифицированная дюрация dur*=

4. Запишем условие иммунизации портфеля:

где v_А, v_Б - доля облигации А, доля векселя Б в портфеле активов;

- дюрации облигации А, векселя Б и дюрация обязательства компании.

Выразим и, подставив известные величины, получим уравнение:

_________________________________

откуда рассчитаем v_А = ______, v_Б = ______.

5. Полученные результаты имеют следующий смысл: для иммунизации данного портфеля против процентного риска необходимо, чтобы доля облигаций А составляла ____%, доля векселей Б - ____%. Добавим, что данный метод можно применять, учитывая собственные средства компании с дюрацией равной 0.