Принятие решений в условиях риска

Принятие решений в условиях риска характеризуется тем, что поведение среды имеет случайный характер, причем в этой случайности имеются закономерности стохастического типа. В общем случае это проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают те или иные состояния среды. Причем ЛПР имеет определенную информацию об этом. В наиболее простом случае это выглядит так: если множество состояний среды конечно, то есть , то вероятностная мера на нем может быть задана вероятностным вектором , где , – вероятность наступления -го состояния среды.

Считаем, что оценочная структура ЗПР задана в виде оценочной функции. Целевая функция представлена в виде матрицы выигрышей .

Такая ЗПР называется также «игрой с природой».

	состояния среды
Альтернативы

Выбирая -ю альтернативу, получаем один из выигрышей с вероятностью соответственно. Таким образом, исходом является величина . Следовательно, сравнение альтернатив и сводится к сравнению соответствующих им случайных величин. Для этого используется математическая ожидание и дисперсия . Математическое ожидание показывает величину ожидаемого выигрыша, а дисперсия – величину риска. Часто используется не дисперсия, а среднеквадратичное отклонение (СКО): . Получаем двухкритериальную задачу.

Чтобы получить представление о математическом ожидании, рассмотрим следующую ситуацию: группа сдает три экзамена.

							Среднее
Оценка
Отклонение		-1		-1	-1
СКО

Результат: 4 1.

Другой пример:

							Среднее
Оценка
Отклонение		-1		-1
СКО

Подход А. Использование обобщенного критерия: где - некоторая постоянная, определяемая ЛПР. Этот критерий – взвешенная сумма М и с весами 1 и (- ). При , что характеризует ЛПР как человека, не склонного к риску. При , наоборот, , что характеризует ЛПР как человека, склонного к рискую Если же , то, следовательно, ЛПР безразличен к риску.

Таким образом, – субъективный показатель меры склонности к риску (показатель осторожности). Будем считать, что ЛПР не склонен к риску ( ). Тогда критерий М будет позитивным, а – негативным. Возьмем из множества альтернатив две альтернативы и . Тогда , .

Возможны два случая:

а) Альтернативы и сравнимы по Парето.

Пусть . Тогда и (причем хотя бы одно из этих неравенств является строгим) > , то есть > . Таким образом, в этом случае независимо от меры склонности ЛПР к риску (от значения ) .

б) Альтернативы и несравнимы по Парето.

Пусть, пример, > и > (больше ожидаемый выигрыш и больше риск). Тогда > . Таким образом, , если ; , если .

В многокритериальной ЗПР основная трудность – в выборе одной оптимальной альтернативы из множества Парето-оптимальных альтернатив. Она легко преодолевается, если Парето-оптимальные альтернативы проранжировать по предпочтению. Это можно сделать с использованием вышеприведенных формул.

Найдем и , где – множество Парето-оптимальных альтернатив ( > и > ).

Назовем нижней границей несклонности к риску, а верхней границей несклонности к риску. Тогда всегда выполняется .

Правила:

1) Если у ЛПР , то для этого ЛПР ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному критерию должно совпадать с ранжированием по показателю ожидаемого выигрыша , то есть более предпочтительней будет альтернатива с большим .

2). Если у ЛПР , то для этого ЛПР ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному критерию должно совпадать с ранжированием по показателю риска (есть более предпочтительной будет альтернатива с меньшим риском).

Показатель (мера склонности к риску) предлагается определять на основе психологических качеств ЛПР на основе наблюдения за тем, как ЛПР принимает решения в различных ситуациях.

Подход В. Использование отношений доминирования по Парето.

Пусть ЛПР не склонен к риску, тогда будет позитивным критерием, а –негативным.

Условие доминирование по Парето означает, что для альтернативы получается такой же (или больший) ожидаемый выигрыш, но с меньшим (или таким же) риском.

Окончательный выбор альтернативы производится из этого множества на основе неформальных добавочных соображений. При втором подходе производится сужение множества Парето с применением ранее изученных методов.

Пример: выбор варианта производимого товара.

Фирма может выпускать продукцию одного из следующих типов: зонты (З), куртки (К), плащи (П), сумки (С), шляпы (Ш), туфли (Т). Глава фирмы должен решить, какую продукцию выпускать предстоящим летом. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето: дождливым (Д), жарким (Ж) или умеренным (У). Пусть ЛПР имеет информацию о вероятности наступления дождливого, жаркого или умеренного лета:

	Д (0,2)	Ж (0,5)	У (0,3)
З
К
П
С
Т
Ш

Ожидаемый выигрыш:

М(З)=80*0,2+60*0,5+40*0,3=58;

М(К)=58;

М(П)=57;

М(С)=56;

М(Т)=55;

М(Ш)=62,5.

Определим дисперсии (по формуле )

D (З)=6400*0,2+3600*0,5+1600*0,3-(58) =196;

D (К)=336;

D (П)=61;

D (С)=84;

D (Т)=100;

D (Ш)=231,5.

Среднеквадратичное отклонение:

;

;

;

;

;

.

	М
З
К		18,3
П		7,8
С		9,2
Т
Ш	62,5	15,2

Результат сводим в таблицу:

Парето-оптимальное множество – . Из него выбирается одна альтернатива.

Найдем оптимальное решение с помощью обобщенного критерия: q(З)=58-14 ; q(С)=56-9,2 ; q(К)=58-18,3 ; q(Т)=55-10 ; q(П)=57-7,8 ; q(Ш)=62,5-15,2 .

Найдем и :

= =0,16; = 3,8; = =0,74.

=min(0,16; 3,8; 0,74)=0,16; =max(0,16; 3,8; 0,74)=3,8.

По правилу ранжирования получаем:

1) Если для ЛПР , то Ш З П. Оптимальная альтернатива – Ш.

2) Если для ЛПР , то П З Ш. Оптимальная альтернатива – П.

3) Если для ЛПР , например, . Тогда:

q(З)=58-14*2=30; q(П)=57-7,8*2=41,4; q(Ш)=62,5-15,2*2=32,1. Получаем П Ш З.

14. Оценка многокритериальных альтернатив – подход аналитической иерархии

Автор: Т. Саати. Analytic Hierarchy Process (AHP).

Данный подход широко известен в настоящее время. Типичная постановка задачи, решаемой этим методом, заключается обычно в следующем: дана общая цель решения задачи, альтернатив и критериев оценки альтернатив. Требуется выбрать наилучшую альтернативу.

Подход AHP состоит из ряда этапов:

1) Структуризация задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.

2) ЛПР выполняет попарное сравнение элементов каждого уровня. Результаты сравнений переводятся в числа с помощью специальной таблицы.

3) Вычисляются коэффициенты важности для элементов каждого уровня, при этом проверяется согласованность суждений ЛПР.

4) Подсчитывается количественный индикатор качества каждой из альтернатив и определяется лучший из них.

В качестве примера рассмотрим ситуацию выбора места для постройки аэропорта. Критерии для оценки альтернатив таковы: C1 – стоимость постройки (желательно подешевле), C2 – расстояние до города (желательно, чтобы расстояние было меньше), C3 – минимальное шумовое воздействие (число людей, подвергающихся шуму, должно быть минимально). Эти критерии противоречивы. Например: постройка аэропорта вдали от города возможно потребует меньших затрат, но время поездки будет больше.

Структуризация.

Предположим, что предварительно выбрали четыре варианта (A,B,C,D). Тогда структура решаемой задачи будет выглядеть так:

A (180, 70, 10)

B (170, 40, 15)

C (160, 55, 20)

D (150, 50, 25)

Попарное сравнение.

При попарных сравнениях в распоряжение ЛПР дается шкала словесных определений относительной важности критериев. Каждому определению ставится в соответствие число в соответствии со шкалой относительной важности:

Уровни важности	Числовая оценка
Равная важность
Умеренное превосходство
Существенное превосходство
Значительное превосходство
Очень большое превосходство

При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, ЛПР отражает свое мнение, используя одно из приведенных значений. В матрицу сравнения заносится соответствующее число. При желании ЛПР может использовать четные целые числа, выражая промежуточные значения.

Матрица сравнений критериев по важности:

Критерий	C1	C2	C3	Собственный вектор	Вес критерия
C1				2,47	0,65
C2	1/5			0,848	0,22
C3	1/3	1/3		0,48	0,13

Правило вычисления коэффициента важности: – собственный вектор по -му критерию, – матрица сравнения; вес критерия: . При этом .

На нижнем уровне иерархии сравниваются заданные альтернативы по каждому критерию отдельно. Сравнение по критерию C1:

Альтернатива	A	B	C	D	Собственный вектор	Вес
A		0,2	0,14	0,11	0,23	0,04
B			0,33	0,2	0,76	0,13
C				0,33	1,63	0,27
D					3,4	0,56

Сравнение по критерию C2:

Альтернатива	A	B	C	D	Собственный вектор	Вес
A		0,11	0,2	0,14	0,23	0,05
B					2,28	0,43
C		0,33			1,14	0,22
D					1,63	0,3

Сравнение по критерию C3

Альтернатива	A	B	C	D	Собственный вектор	Вес
A					3,4	0,56
B	0,33				1,63	0,27
C	0,2	0,33			0,76	0,13
D	0,11	0,14	0,2		0,23	0,04