Показатели вариации. Абсолютные и относительные.
Вариация – это различие численных значений признака. По показателям вариации определяется однородность совокупности. В отклонениях значений признака от сред. Величины проявляется развитие явления.
Абсолютные показ. вар.:
1. Размах вариации:
R = Xmax – Xmin
Недостаток состоит в том, что он опирается только на крайние значения совокупности, т.е. нет информ. о вариации признака внутри совокупности.
2. Среднее линейное отклонение d (формула простая и взвешенная):
Этот показатель определяет на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отличаются от среднего арифметического.
3. S – среднее квадратичное отклонение
Определяет то же самое, что и линейное отклонение (d), но значение его всегда больше, чем d, т.е. этот показатель точнее. Выражается в именованных числах.
Относительный пок. вар. – коэффициент вариации. Рассчитывается как отношение сред. квадрат. к сред. арифметич.
V = S / X * 100%
Если он меньше 40%, то это означает, что среднее арифметическое выбрано надёжно и совокупность однородна. Если больше 40%, то это означает, что совокупность неоднородна и среднее арифметическое выбрано ненадёжно.
Дисперсия – это средняя из квадратов отклонений значений признака от средней величины.
Определяет дисперсия то же самое, что и сред. квадратическое отклонение (S). Сложность использования дисп. в том, что она выражается в квадратичных единицах.
По свойству мажурантности среднее квадратичное отклонение S всегда больше, чем среднее линейное откл. (d). Если распределение признака близко к нормальному распределению или симметричному, то выполняются такие соотношения: S = 1,25d и d = 0,8S.
По теореме Чебышева: 75% значений признака попадает в интервал от
-2S≤X≤2S и 89% от -3S≤X≤3S.
24. Коэффициент Джини и построение кривой Лоренца.
Коэффициент Джини — статистический показатель степени расслоения общества данной страны или региона по отношению к какому-либо изучаемому признаку.
Следует найти площадь первой фигуры и поделить её на площадь второй. В случае полного равенства коэффициент будет равен 0; в случае полного неравенства он будет равен 1. Коэффициент Джини можно рассчитать по формуле Брауна:
,
или по формуле Джини:
,
где — коэффициент Джини, — кумулированная доля населения (население предварительно ранжировано по возрастанию доходов), — доля дохода, которую в совокупности получает , — число домохозяйств, — доля дохода домохозяйства в общем доходе, — среднее арифметическое долей доходов домохозяйств.
Кривая Лоренца — это графическое изображение функции распределения.
Чтобы построить кривую Лоренца , откладываем по оси X процент семей, а по оси Y - процент дохода Абсолютное равенство графически представлено биссектрисой ОЕ.
Линия фактического неравенства строится на основании данных о процентах дохода, приходящихся на каждые 10% населения. Если нижняя первая часть населения получила 3,2% всех доходов, то графически это будет точка А. Чтобы получить точку В необходимо сложить процент дохода первых 10% населения с процентами доходов вторых 10% населения (1,9% + 2,5%) и т.д.
Рассчитаем коэффициенты концентрации доходов (индекс Джини).
Уровень неравенства определяется с помощью коэффициента Джини. Он рассчитывается как отношение площади фигуры OABCDKLMNPE к площади треугольника ОEG. Для того чтобы определить площадь фигуры, лежащей ниже кривой Лоренца, соединяем прямыми линиями точки ОА, АВ и т.д. Опускаем перпендикуляр на ось X и находим площади фигур, лежащих ниже точек А, B, С.
SABB'A состоит из треугольника и прямоугольника SBCCB' также состоит из треугольника и прямоугольника
Сложив все площади фигур, получим площадь фигуры S2