Тема 3: Абсолютные, относительные и средние величины. Показатели вариации.

Относительные величины образуют систему взаимосвязанных статистических показателей. По содержанию выражаемых количественных соотношений выделяют следующие типы относительных величин.

Относительный показатель динамики. Характеризует изменение уровня развития какого-либо явления во времени. Получается в результате деления уровня признака в определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предшествующий период или момент.

Текущий уровень

ОПД =

Предшествующий или базисный уровень

Относительный показатель плана. Рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в предшествующем периоде.

Уровень, планируемый на (i+1)-ый период

ОПП =

Уровень, достигнутый в i-ом периоде

Относительный показатель реализации плана. Рассчитывается как отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному.

Уровень, достигнутый в (i+1)-ом периоде

ОПРП =

Уровень, планируемый на (i+1)-ый период

Между этими показателями существует взаимосвязь: ОПП * ОПРП = ОПД

Относительный показатель структуры. Характеризуют доли, удельные веса составных элементов в общем итоге. Как правило, их получают в форме процентного содержания:

Показатель, характеризующий часть совокупности

ОПС =

Показатель по всей совокупности в целом

Относительный показатель координации. Характеризуют отношение частей данной совокупности к одной их них, принятой за базу сравнения. ОПК показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой, либо сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000, … единиц другой части. Относительные величины координации могут рассчитываться и по абсолютным показателям, и по показателям структуры.

Показатель, характеризующий i-ую часть совокупности

ОПК =

Показатель, характеризующий часть совокупности,

выбранную за базу сравнения

Относительный показатель интенсивности. Характеризуют степень распределения или развития данного явления в той или иной среде. Представляют собой отношение абсолютного уровня одного показателя, свойственного изучаемой среде, к другому абсолютному показателю, также присущему данной среде и, как правило, являющемуся для первого показателя факторным признаком.

Показатель, характеризующий явление А

ОПК =

Показатель, характеризующий среду распространения явления А

Относительный показатель сравнения. Характеризуют сравнительные размеры одноименных абсолютных величин, относящихся к одному и тому же периоду либо моменту времени, но к различным объектам или территориям.

Показатель, характеризующий объект А

ОПСр =

Показатель, характеризующий объект Б

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая. В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1		m = xf
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. Для интервального ряда расчет моды и медианы проводится по следующим формулам.

,

- нижняя граница медианного интервала;

i_Me- его величина;

Σf/2 - половина суммы частот;

- сумма накопленных частот, предшествующая медианному интервалу;

f_Me- число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

,

где X_Mo- нижнее граница модального интервала;

f_Mo- частота модального интервала;

f_Mo- частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo- частота интервала, следующего за модальным;

i_Mo – величина модального интервала.

Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.

Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации R как разницы между максимальным (X_max) и минимальным (X_min) наблюдаемыми значениями признака: .

Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение d как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня:

- невзвешенное среднее линейное отклонение,

- взвешенное среднее линейное отклонение

Дисперсия признака ( ) определяется на основе квадратической степенной средней:

или .

Показатель s, равный , называется средним квадратическим отклонением.

Если первичные данные сгруппировать, то дисперсия признака может быть определена как сумма так называемой межгрупповой дисперсии – δ² и среднего значения внутригрупповых - , т.е.

.

Mежгрупповая дисперсия рассчитывается как

,

где - среднее значение признака по группе i;

n_i – численность группы i;

- общее среднее значение признака.

Средняя из внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле

,

где - групповая дисперсия.

При расчете относительных показателей вариации базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели дают характеристику однородности совокупности. К ним относятся:

- коэффициент осцилляции,

- линейный коэффициент вариации,

- коэффициент вариации.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).