Перетин багатогранної поверхні площиною

Умова. Побудувати проекції ліній перетину багатогранної поверхні площиною загального положення. Визначити натуральну величину січення (рис. 13, табл. 4).

Таблиця 4

Кут №
α0
β0

Можливий план розв'язання задачі

Визначимо точки перетину ребер багатогранника із січною площиною. Ці точки належать шуканій лінії перетину. Ребра багатогранника обмежують його плоскі грані. Площин, (грані багатогранника і січна площина) перетинаються по прямих лініях. Тому, з'єднавши послідовно прямими точки перетину сусідніх ребер із січною площиною, одержимо шукану лінію перетину.

Точки перетину ребер багатогранника із січною площиною можна визначити способом, викладеним у прикладі (див. завдання № 3 (ч. 1)).

Можливі й інші способи рішення цієї задачі. Один з них, що грунтується на введенні допоміжної площини проекцій, використаний при рішенні приклада завдання №8.

Приклад. Побудувати проекції лінії перетину поверхні піраміди площиною загального положення, заданої трикутником АВС.

Визначити натуральну величину фігури перетину, зображеної на рис. 14. Відповідно до приведеного плану рішення визначимо точки перетину ребер піраміди із січною площиною. При побудові точки перетину прямої із площиною через цю пряму проводять допоміжну площину знаходять лінію перетину заданої і допоміжної площин і визначають шукану точку як точку перетину знайденої лінії (перетину площин) із заданою прямою.

Проведемо, наприклад, через ребро СDдопоміжну фронтально-проектуючу площину T₁(f_T1- її фронтальний слід) і побудуємо лінію перетину цієї площини із січною площиною ΔАВС. Точка М₂-фронтальна проекція точки перетину площини Т₁зі стороною АС Δ АВС. Горизонтальна проекція цієї точки М₂ визначається за допомогою лінії зв'язку на горизонтальній проекції відрізка АС.

ТочкиN₂ іN₁ - відповідно фронтальна і горизонтальна проекції точки перетину площини Т₁ зі стороною АС ΔАВС. Точки перетину сторін АС і АВ цього трикутника з площиною Т₁належать прямій лінії перетину площини трикутника з площиною Т₁.

З'єднуючи горизонтальні проекції точок М і М₁прямої, одержуємо відрізок горизонтальної проекції ліній перетину (відрізок М₁N₁).

Точка К₁у якій відрізок М₁N₁, перетинає горизонтальну проекцію ребра SDє горизонтальна проекція шуканої точки перетину ребра SDіз січною площиною Δ АВС. Фронтальна проекція цієї точки К₂, визначається по лінії зв'язку.

Точки перетину ребер SЕ і SFіз січною площиною (відповідно точки Р і L) визначаються аналогічно. При знаходженні цих точок через ребра SЕ і SFпроводять ту саму допоміжну площину Т₂, яка проходить через грань піраміди ЕSF(f₂- фронтальний слід цієї площини). G₁Н₁відрізок горизонтальної проекції лінії перетину площини Т₂ із січною площиною. Тому що ребра SЕ і SFлежать у площині Т₂, тоді точки перетину відрізка G₁Н₁з горизонтальними проекціями цих ребер є горизонтальними проекціями шуканих точок перетину ребер SЕ і SFіз січною площиною (точки Р₁і L₁). Фронтальні проекції точок Р і L. визначають по лініях зв'язку.

З'єднуючи горизонтальні проекції точок К, Р і L- прямими, одержуємо горизонтальну проекцію ліній перетину площини Δ АВС з поверхнею піраміди (ΔК₁Р₁L₁) Фронтальну проекцію цієї лінії одержуємо при з'єднанні фронтальних проекцій зазначених точок (ΔК₁Р₁L₁).

Для визначення натуральної величини фігури перетину (ΔКРL)проведемо фронталь площини ΔКРL. Лінія К₁Р₁ - горизонтальна проекції цієї фронталі, а лінія К₂Р₂- її фронтальна проекція. Потім перемістимо ΔКРLплоскопаралельно стосовно площини П₂ у положення, при якому ця фронталь виявиться перпендикулярною до площини П₁. При цьому її фронтальна проекція буде перпендикулярна до осі проекції.

При плоскопаралельному перенесенні проекція тіла (фігури) на площину проекцій, паралельно якій перемішається тіло (площина Л_г, не змінює своєї величини і форми. Далі проводимо відрізок К₂Р₂що дорівнює відрізкові К₂Р₂і перпендикулярний до осі проекцій, і на ньому будуємо без змін фронтальну проекцію ΔКРLу новому положенні цього трикутника (ΔК₂Р₂L₂). При такому перенесенні трикутника ΔКРLгоризонтальні проекції його вершин переміщаються по траєкторіях, паралельним осі проекцій. Ця обставина використана при побудові горизонтальної проекції ΔКРLу новому положенні. Тому що в цьому положенні фронтальΔКРLперпендикулярна до площини П_ь. площина ΔКРL також перпендикулярна до площини П₁ і проектується на площину П₁ . у пряму лінію. Тому горизонтальні проекції вершин трикутникаКРL(точки К₁Р₁L₁) у положенні після перенесення лежать на одній прямій.

Для визначення натуральної величини ΔКРLйого варто повернути навколо якої-небудь осі, перпендикулярної до площини П₁до положення, при якому його площина виявиться паралельною площині П₁. Тоді трикутник спроектується на площину П₂у натуральну величину.

На кресленні (див. рис, 14) показаний поворот навколо осі, що проходить через вершину L перпендикулярно до площини П₁. При такому повороті горизонтальні проекції вершин трикутника перемішаються по окружностях відповідного радіуса, а фронтальні проекції - по прямих, паралельних осі проекцій. Горизонтальна проекція АКРLзображена в положенні, паралельному площині П₂ (відрізокL₁P₁), а його фронтальна проекція (ΔК₂Р₂L₂.) дорівнює натуральній величині трикутника (показана подвійною лінією). Точка L₁ що лежить на осі обертання, при повороті не переміщується.

Контрольні питання

1)Суть плану рішення розглянутої задачі.

2)Як визначається точка перетину прямій і площині (одного з ребер багатогранника із січною площиною)?

3)Як визначається в розглянутій задачі натуральна величина фігури перетину?

Рис. 13

Рис. 14