Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку

Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням плоскої лінії навколо прямої, що знаходиться у тій же самій площині. Пряма, навколо якої відбувається обертання, називається віссю обертання.

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Рис. 47.1

Розглянемо криву Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru , яка в системі координат Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru знаходиться у площині Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru і задається рівнянням

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Знайдемо рівняння поверхні, що утворюється обертанням цієї кривої навколо осі Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru (Рис.47.1). Розглянемо довільну точку поверхні Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru . Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru . Нехай Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru - точка перетину цієї площини з віссю Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru , а Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru - точка перетину з кривою Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru . Тоді Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru , а Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru . Але Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru , як радіуси одного кола. Отже, координати точки Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru дорівнюють Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru і оскільки точка Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru належить кривій Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru , то мають задовольняти рівняння :

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Таким чином, є рівнянням розглянутої поверхні обертання. Аналогічно отримується рівняння поверхні, що утворюється обертанням кривої навколо осі Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Коли лінія знаходиться у площині Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru і її рівняння

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

то рівняння поверхні, утвореної обертанням цієї лінії навколо осі Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru має вигляд:

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Розглянемо поверхні, що утворюються при обертанні кривих другого порядку, заданих канонічними рівняннями.

1. Еліпсоїд обертання.

Нехай еліпс, що знаходиться у площині Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru , задається рівнянням

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

і обертається навколо осі Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru (Рис. 47.2)

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Рис. 47.2

Утворена при цьому поверхня називається еліпсоїдом обертання і має рівняння (див.)

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

2. Однопорожнинний гіперболоїд обертання

Візьмемо у площині Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru гіперболу

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

і здійснимо її обертання навколо осі Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru (Рис. 47.3)

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Рис. 47.3

Утворена при цьому поверхня називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання і має рівняння

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

3. Двопорожнинний гіперболоїд обертання

Якщо цю саму гіперболу обертати навколо осі Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru , то отримаємо поверхню, яка називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання (Рис. 47.4) і згідно з визначається рівнянням

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru або Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Рис. 47.4

4. Параболоїд обертання.

Нехай парабола

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Рис. 47.5

обертається навколо осі Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru (Рис. 47.5). Утворена поверхня називається параболоїдом обертання і визначається рівнянням

Поверхні обертання. Поверхні обертання другого порядку - student2.ru

Наши рекомендации