Обозначение числа размещений Акn (от фр. "arangement" – размещение (приведение в порядок)).

Характерный пример размещений без повторений — вся совокупность трехзначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр. Учащиеся приводят свои примеры.

Рассматриваем с учащимися задачу. Сколько лент из 3 квадратов можно построить из 5 квадратов различных цветов? Предыдущий опыт подсказывает учащимся, что надо воспользоваться правилом произведения. Они быстро находят ответ 5·4·3=60 вариантов.

Определяем число размещений без повторений из п элементов по к. Пусть имеем п различных элементов. Сколькими способами можно выбрать первый элемент? Ответ: п способами. Второй элемент? Ответ: п—1 способом, т.к. его приходится выбирать из оставшихся п—1 элементов. Сколькими способами можно образовать пары элементов? Ответ: п(п—1) способами по правилу произведения. Учащиеся продолжают рассуждения. Третий элемент придется отбирать из числа оставшихся п—2 элементов. Это можно сделать п—2 способами. Тогда тройки элементов можно образовать п(п—1)(п—2) способами. Аналогично четверки можно образовать п(п—1)(п—2)(п—3) способами, а размещения из n по к элементов п(п—1)(п—2)...(п—(к—1)) способами. Таким образом, у нас получается формула:

А^к_n= п(п—1)(п—2)...(п—к+1.) (1)

Формулу (1) преобразуем, умножая и деля правую часть на произведение

(п—к) (п— к—1) (п—к—2)...3 • 2 • 1.

Получаем: А^к_n=(п(п-1)(п-2)... 3 • 2 • 1) : ( (п—к) (п—к—1) (п—к—2)...3 • 2 • 1).

Математики ввели специальное название для произведения п(п-1)(п-2)... 3 • 2 • 1.

Такое произведение называется факториалом числа п и обозначается символом п!

Причем принято считать, что 0! = 1.

Формула (1) теперь приобретает удобную для запоминания форму: А^к_n=n! :(п — к)!

В случае, когда к=п, одно размещение от другого отличается только порядком расположения элементов (выбор существенного признака (б) в качестве основного). (Рассматривается пример с лентой, построенной из всех 5 квадратов). Такие размещения называются перестановками без повторений. Рассуждения оформляем в виде схемы:

Выборки объема к из генеральной совокупности без повторений объема п

когда обладают или признаком (а), или (б)

Размещения без повторений из п элементов по к

когда к = п и обладают признаком (б) и только (б)

Перестановки без повторений из п элементов

По схеме учащиеся выводят определение:

Перестановками без повторений из п элементов называются размещения без повторений из п элементов по п, т. е. размещения, отличающиеся одно от другого только порядком расположения элементов.

Обозначение числа перестановок Р_п (от фр. "permutation" - перестановка)

Характерный пример перестановок без повторений — вся совокупность всех десятизначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр. Учащиеся приводят свои примеры.

Считаем число лент составленных из 5 различных квадратов. Получаем 5!

По определению и формуле (1) имеем: Р_п = А^п_n= п(п-1)(п-2)... 3 • 2 • 1, т. е. Р_п = п! (2)

Среди размещений без повторений из п элементов по к (к<п) можно выделить такие, которые отличаются одно от другого (а) и только (а) признаком (выбор существенного признака (а) в качестве основного). Рассматриваем составление наборов из 3 квадратов, взятых из 5 различных квадратов. Такие размещения называются сочетаниями без повторений. Строим с учащимися схему рассуждений:

Выборки объема к из генеральной совокупности без повторений объема п

когда обладают или признаком (а), или (6)

Размещения без повторений из п элементов по к

когда к<п и обладают признаком (а) и только (а) (неупорядоченные выборки)

Сочетания без повторений из п элементов по к

По схеме учащиеся выводят определение:

Сочетаниями без повторений из п элементов по к называются такие размещения без повторений из п элементов по к, которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.

Обозначение числа сочетаний С^к_n (от фр. "combinaison" - сочетания)