Натуральное число как результат измерения величины

Натуральные числа получаются не только в результате счета элементов множества, но и при измерении величин.

Рассмотрим смысл натурального числа как результата изме­рения на примере одной из величин — длины отрезка (рис. 89).

Пусть а — данный отрезок, е — единичный отрезок.

Если отрезок а состоит из n отрезков, равных е, то а= n е, где и -численное значение длины отрезка А при единице Е, А= n Е.

Натуральное число n как численное значение длины отрезка А по­казывает, из скольких выбранных единичных отрезков е состоит от­резок а. При выбранной единице длины Е это число единственное.

Отношения между числами как результатами измерения величи­ны отражают отношения между величинами.

Пусть: n — численное значение длины отрезка А, m — численное значение длины отрезка В при одной и той же единице длины Е, тогда:

В процессе измерительной деятельности и решения задач стар­шие дошкольники работают с численными значениями величин. Например:

1) «Длина синей ленты 5 мерок, а длина красной ленты 3 такие же мерки. Какая лента длиннее? Почему?»

2) «У Маши длина парты 5 мерок. У Саши парта такой же дли­ны. Сколько мерок должно уложиться при измерении Сашиной; парты? Почему?»

Зная связи между числами, дети выясняют отношения между величинами, и наоборот, зная отношения величин, выясняют отно­шения между их численными значениями.

Смысл операций с числами можно рассматривать, исходя из трактовки числа как результата измерения величины.

Сумму натуральных чисел тип можно рассматривать как чис­ленное значение длины отрезка а, состоящего из отрезков Ь и с, длины которых выражаются натуральными числами тип (рис. 90).

Пример: «Длина ткани 5 м, отрезали 3 м. Какова длина остав­шегося куска?» В данной задаче из длины 5 м вычитается длина 3 м. Надо узнать численное значение длины оставшегося куска ткани. Для этого надо найти разность 5-3.

Аналогично можно истолковать смысл натуральных чисел и действий с ними в связи с измерением других величин (площади, массы, стоимости, времени и др.).

Задание 67

1. Определите смысл натурального числа и действий с числами, используя:

— измерение площади;

— измерение массы.

2. Приведите примеры задач, в которых используются операции с величинами. Обоснуйте выбранное действие при решении каждой задачи.

Способы записи чисел

Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой проблемы люди разных стран изобретали различные сис­темы счисления.

Система счисления - это язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десяте­ричной и др. В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.

В настоящее время наиболее широкое применение получила де­сятичная система счисления, хотя используются и другие:

шестидесятеричная — при измерении времени,

двенадцатеричная - при счете дюжинами,

двоичная — например, в компьютере и др.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления значение цифры (знака, ис­пользуемого для записи чисел) не зависит от ее места (позиции) в за­писи числа.

Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:

I - один,

V — пять,

X - десять,

L - пятьдесят,

С- сто,

D — пятьсот,

М— тысяча.

Все другие числа получаются из этих семи при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания.

Например, IV - четыре (5-1=4), VI — шесть (5+1=6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная -где бы ни стоял знак V или I - он всегда имеет одно и то же значе­ние.

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.

Примером позиционной системы счисления является использу­емая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел ис­пользуется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в запи­си 253 цифра 2 обозначает сотни, в записи 325 - цифра 2 обознача­ет десятки, а в записи 532 — цифра 2 обозначает единицы.

Задание 68

Запишете число 2678 в римском нумерации.

Примечание.

Заслушиваются доклады и сообщения, предварительно подготов­ленные студентами, на темы: «Возникновение и развитие нумера­ции», «Системы счисления разных народов», «Запись чисел в Древней Руси», «Происхождение десятичной системы счисления».

5.6. Особенности десятичной системы счисления

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и введением понятия нуля. Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятич­ную систему арабы, поэтому ее часто называют арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел использу­ются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

Например: 5437 - краткая запись числа «пять тысяч четыреста

Данная система записи чисел называется десятичной, так как 10 является основанием системы, то есть 10 единиц одного разряда со­ставляют 1 единицу следующего разряда.

В целях подготовки к усвоению десятичной системы счисления старшие дошкольники знакомятся с цифрами, учатся считать груп­пами (в том числе десятками). Младшие школьники, знакомясь с: десятичной системой счисления, выполняют задание: «Представь, число в виде суммы разрядных слагаемых», учатся называть разряды, и классы.

Три первых разряда образуют класс единиц, следующие три раз­ряда — класс тысяч, затем идет класс миллионов и др. (рис. 91).

Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок,

ТЕМА 6

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ