Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009

Ответ: 1747. Решение: Пусть наше число равно N, тогда число (N2–9) оканчивается на 2000. Значит, (N2–9)=(N–3)(N+3) делится на 2000=24×53. Делиться на 5 может только один из двух множителей (N–3) и (N+3), т.к. их разность 6 не делится на 5. При этом оба множителя должны быть чётными, но одновременно не делящимися на 4, значит, один из них делится на 2, другой – на 23=8. Таким образом, один из этих множителей делится на 2×53=250, а ещё один – на 8, причём это может быть один и тот же множитель. Разобрав случаи для (N–3) и (N+3) чисел 250, 500, 750, 1000, 1250, 1500, 1750, обнаружим, что условия делимости выполняются для N равных 253, 747, 997, 1003, 1253, 1747. Первым из квадратов, оканчивающихся на 2009, будет 17472=3052009.

Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru 4. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС нашлись такие точки M и N, что BM=MN и BC=CN. Из точки А к окружности w1 (c центром М и радиусом МС) и к окружности w2 (с диаметром MN) проведены касательные AK1 и AK2 соответственно (K1 и K2 – точки касания). Докажите, что AK1=AK2.

Решение: Т.к. АК2 – касательная, то из свойств вписанных углов следует, что треугольники AMK2 и ANK2 подобны. Тогда AK22=AM×AN=AM×(AM–MN)=AM2–AM×MN=AM2–AM×BM=AM2–СM2=AM2–MK12=AK12, откуда и следует нужное нам равенство AK1=AK2. (Мы воспользовались равенством AM×BM=СM2, т.к. СМ – высота из вершины прямого угла.)

5. На полях a1, a2 и b1 шахматной доски стоят соответственно белая, чёрная и красная ладьи. Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи (т.е. в одной горизонтали или вертикали с другой ладьёй). Сколько ещё других (не считая исходной) расстановок этих ладей на шахматной доске можно получить?

Ответ: 9407 расстановок. Решение: Заметим, что эти три ладьи всегда располагаются в трёх клетках, лежащих в углах некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам доски («квартета» из четырёх клеток, находящихся на пересечении двух горизонталей и двух вертикалей). При этом их порядок по часовой стрелке совпадает с исходным, т.е. белая, чёрная и красная ладьи. Нетрудно убедиться, что возможно любое из таких расположений. Для этого ладьи сначала сдвигаются в три угла такого квартета (передвигаются в две вертикали, потом в две горизонтали квартета, сохраняя друг друга под защитой), а затем перемещаются по очереди по часовой стрелке через свободный угол. Всего существует Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru таких квартетов, что определяется выбором двух горизонталей и двух вертикалей, на пересечении которых и будут находиться четыре угла соответствующего прямоугольника. В каждом таком прямоугольнике существуют 4×3=12 расстановок ладей по часовой стрелке, т.к. ладьи всегда образуют уголок, в центральной клетке которого может находиться любая ладья (3 варианта), а сама центральная клетка может находиться в любом из углов квартета (4 варианта). Учитывая исходный вариант, получим всего 784×12–1=9407 расстановок.

11 класс

1. Докажите, что существует бесконечно много арифметических прогрессий 1, b, c, таких, что квадратный трехчлен x2+bx+c имеет действительные корни.

Решение: Заметим, что из свойств арифметической прогрессии следует, что Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru . Кроме того, для наличия действительных корней дискриминант данного квадратного трехчлена Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru должен быть неотрицательным. Получившееся неравенство равносильно квадратному неравенству c2–14c+1³0, имеющему бесконечно много решений, значит, существует и бесконечно много арифметических прогрессий, удовлетворяющих условию.

Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru 2. В плоскости правильного n-угольника А1А2…Аn отмечена точка К так, что биссектриса угла А1КА2 проходит через центр этого n-угольника. Покажите, что точка К необязательно лежит на серединном перпендикуляре к отрезку А1А2.

Решение: Точка К может лежать на дуге А1А2 описанной около треугольника А1А2O окружности (где О – центр n-угольника), не совпадая с серединой этой дуги. В этом случае КО будет биссектрисой ÐА1КА2, что верно в силу свойств вписанных углов, т.к. А1О=А2О. Точка К в этом случае не лежит на серединном перпендикуляре к отрезку А1А2.

3. В клетках таблицы 3´3 расставлены положительные числа так, что каждое число в два раза меньше суммы всех чисел, находящихся в соседних с ним по стороне клетках. Верно ли, что среди этих 9 чисел можно выделить две группы по 4 числа с одинаковыми суммами?

Решение: Заметим, что каждое угловое число равно полусумме своих соседей, тогда сумма всех угловых чисел равна удвоенной полусумме чисел, находящихся в серединах сторон, т.к. каждое такое число учитывается дважды, являясь соседом у двух угловых чисел. Значит, сумма четырёх угловых чисел равна сумме четырёх чисел в серединах сторон. Таким образом, требуемое условие выполнимо.

Комментарий: Но … условие задачи некорректно, т.к. такое расположение чисел возможно только в случае, если все числа равны 0, что нетрудно доказать, решив соответствующую систему из 9 уравнений с 9 неизвестными. Поэтому верным является вывод о некорректности условия задачи.

Примечание: доказательство «верности» требуемого в задаче оценивается из 7 баллов, доказательство некорректности условия оценивается из 10 баллов.

4. Все углы при вершине S треугольной пирамиды SАВС равны 60°. Докажите, что полупериметр основания АВС больше наибольшего из рёбер SA, SB и SC.

Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru Решение: Сделаем развёртку A1BCA2S, разрезав пирамиду по наибольшему из данных трёх рёбер (с точностью до обозначений можно считать, что это ребро SA) – см. рис. Т.к. сумма углов при вершине S равна 180°, то S лежит на отрезке A1A2. Тогда длина ломаной A1BCA2 больше A1A2, т.е. периметр основания АВС пирамиды больше удвоенного ребра SA, откуда и следует нужное нам утверждение.

На олимпиаде школьники решали 6 задач. Оказалось, что никакие два из них не решили вместе всех задач, и каждую задачу решило ровно 100 школьников. При каком наименьшем числе школьников это возможно?

Ответ: 200 школьников, например, 4 группы по 50 человек, каждый решил по 3 задачи – группа А решила 1, 2 и 3 задачи; В – 1, 4 и 5; С – 2, 4 и 6; D – 3, 5 и 6. Доказательство оценки: Если школьников менее 200 (а всего предъявлено 600 решений), то по принципу Дирихле найдётся школьник N, решивший хотя бы 4 задачи (но, согласно условию, не все 6). Если N решил 5 задач, то вместе с любым школьником, решившим оставшуюся задачу, он составит «запретную» пару, противоречащую условию. Если он решил 4 задачи, то по оставшимся двум задачамсреди 200 решений, предъявленных не более чем 198 школьниками, найдутся два решения, принадлежащих одному и тому же школьнику, который вместе с N составит «запретную» пару. Противоречие, значит, всего в олимпиаде участвовало не менее 200 школьников.

6. Существует ли натуральное число, которое, будучи записанным дважды подряд (в десятичной записи), даст точный квадрат?

Ответ: существует, например, число 183673469387755102041, т.к. 183673469387755102041183673469387755102041=4285714285714285714292= Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru .

Решение: Пусть наше число а имеет n цифр, тогда будучи записанным дважды оно даст число А=а×(10n+1). Найдём такое натуральное n, что 10n+1 делится на какой-нибудь точный квадрат, например, 72=49. Подойдёт n=21, т.к. 1021º10010×10º210×10º10240º –1(mod 49). Но после деления на 49 останется число из 20 цифр, начинающееся на 2, поэтому домножим наше число на точный квадрат 32=9. Тогда получим нужное нам 21-значное число Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru .

Комментарий: в качестве примера также подойдёт число 8264462810082644628100=909090909102= Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru , т.к. (1011+1) делится на 112, тогда нужное нам 11-значное число Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого оканчивается на 2009 - student2.ru . Другие примеры можно получить по аналогичной схеме.

Наши рекомендации