Или в скалярном виде в проекциях на ось ОХ

Т.к. , то уравнение (2.2) можно записать как

.

Разделим обе части уравнения на m и обозначим ( - собственная частота колебаний), получим дифференциальное уравнение 2-го порядка для идеальных колебаний

Решением этого уравнения является функция

или

Здесь – фаза колебания, которая характеризует смещение точки из положения равновесия в любой момент времени, а j₀ – начальная фаза колебаний.

Анализируя решение, следует отметить, что амплитуда колебаний с течением времени не меняется, т.к. нет потерь энергии точки на преодоление силы трения, и что колебание является гармоническим и длится сколь угодно долго.

График зависимости

смещения от времени приведен на рис.2.4

Рис. 2.4

Скорость движения точки определится как

где – амплитудное значение скорости.

Чтобы сравнить по фазе скорость со смещением, необходимо выразить скорость через синус, как и смещение

,

т.е. скорость опережает смещение по фазе на . График скорости приведен на рис.4.

Ускорение точки найдем как

где – амплитудное значение ускорения.

Для сравнения по фазе ускорения со смещением запишем ускорение в форме

,

откуда следует, что ускорение опережает по фазе смещение на . График ускорения представлен на рис. 2.4.

Сравнивая формулы (4), (5) и (6), замечаем что, в крайних положениях при и ускорение , а скорость . В положении равновесия при ускорение , а скорость максимальна, .

Энергия колеблющейся точки

Полная энергия колеблющейся точки складывается из ее потенциальной, _.,и кинетической энергии, :

Если смещение точки описывается уравнением

, то , то потенциальная энергия определиться как

т.к. , а кинетическая энергия определиться как

.

Полная энергия, таким образом, определяется как

откуда

Затухающие колебания

Реальные механические колебания, т.е. колебания, происхо-дящие в природе, совершаются в среде. Значит, на колеблющуюся точку кроме возвращающей силы действует еще сила трения:

,

где – коэффициент трения. Следовательно, реальные колебания являются затухающими, т.к. энергия колеблющейся точки теряется на преодоление силы трения.

Теперь уравнение движения колеблющейся точки следует записать в виде

Или в скалярном виде в проекциях на ось ОХ

.

Заменяя и через производные, получим

.

Деля на обе части уравнения и вводя обозначения ( - коэффициент затухания) и , получим дифференциальное уравнение второго порядка для затухающих колебаний

.

Решением этого уравнения является функция

или

.

Здесь – амплитуда первого колебания.

Анализируя решение, следует отметить, что амплитуда затухающих колебаний с течением времени уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону из-за потерь энергии точки на преодоление силы трения и определяется в любой момент времени как

.

Само же колебание остается гармоническим и происходит с периодом . График зависимости смещения затухающего колебания от времени приведен на рис. 2.5.

Рис. 2.5