В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде

Для системы сил, лежащей в плоскости xОy, последнее уравнение удовлетворяется тождественно. Если равнодействующая В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru определена с помощью силового многоугольника, то условием равновесия сходящихся сил является его замкнутость, т.е. для равновесия системы сил необходимо чтобы конец силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru совпал с началом силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru .

В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru Теорема о трех силах. Теорема. Если плоская система трех непараллельных сил находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть система трех сходящихся сил В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru находится в равновесии (рис. 10). Предположим, что силы приложены в точках А1, A2, A3, а линии действия сил В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru и В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru пересекаются в точке О. Перенесем силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru и В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru по линиям их действия в точку О и по правилу параллелограмма найдем их равнодействующую В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Тогда

       
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru   В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru
 

Но система двух сил, согласно аксиоме 1, находится в равновесии только в том случае, если эти силы направлены по одной прямой. Следовательно, линия действия силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru должна совпадать с линией действия силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Поскольку линия действия силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru проходит через точку О, то и линия действия силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru проходит через точку О. Что и требовалось доказать.

Эта теорема используется при решении задач на равновесие тел, находящихся под действием плоской системы трех сил,

Пример. Земляная насыпь подпирается вертикальной каменной стеной АВ. Найти необходимую толщину стены В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , предполагая, что давление земли на стену направлено горизонтально, приложено на 1/3 ее высоты и равно 60 кН/м (на метр длины стены), удельный вес кладки 20 кН/м3.(Cтена должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра А).

Расчет плоских ферм.Пример решения задач на равновесие тел дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами.Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть

направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Мы будем рассматривать жесткие плоские фермы, образованные из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru связаны соотношением В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . В самом деле, в треугольнике, образованном из трех стержней, будет три узла. Присоединение каждого следующего узла требует два стержня. Следовательно, для всех остальных В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru узлов потребуется В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru стержней. В результате в ферме будет число стержней В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . При меньшем числе стержней ферма не будет жесткой, а при большем числе она будет статически неопределимой.

В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.

Опорные реакции можно найти обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело.

Для определения усилий в стержнях рассмотрим два способа.

Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов. Ход расчетов поясним на конкретном примере.

Рассмотрим изображенную на рисунке ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников. Действующие на ферму силы параллельны оси х и численно равны В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru кН. В этой ферме число узлов В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , а число стержней В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Следовательно, необходимое соотношение выполняется и ферма является жесткой без лишних стержней.

Составляя уравнения равновесия для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как показано на рисунке, и численно равны: В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru .

Определим теперь усилия в стержнях. Пронумеруем узлы фермы. Искомые усилия в стержнях обозначим В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от остальной фермы. Действие отброшенных стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая, все стержни растянутыми. Изображенную картину надо представить себе для каждого узла так, как это показано на рисунке. Если в результате расчета значения усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательным, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат.

Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последовательно уравнения равновесия. Для каждого узла мы можем составить два уравнения равновесия. Поэтому число неизвестных усилий, входящих в эти уравнения не должно быть больше двух. (Заметим, что если в узле сходятся только два стержня и к узлу не приложена ни активная сила, ни реакция опоры, то усилия в стержнях, сходящихся в этом узле равны нулю). В нашей ферме этому условию удовлетворяют узлы 1 и 6. Начнем расчет с узла 1. Составим для него два уравнения равновесия:

       
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru   В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru
 

Отсюда находим:

Теперь, зная В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , переходим к узлу 2. Для него уравнения равновесия дают: В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , откуда В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru .

В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru Определив В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла 4, затем для узла 5. Из этих уравнений находим: В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru .

Наконец, для вычисления В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru достаточно составить одно уравнение равновесия сил, сходящихся в узле 6, в проекциях на ось у. Получим В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , откуда В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru .

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут,остальные стержни сжаты, стержень 7 не нагружен.

Если в ходе расчета встретится узел, для которых число неизвестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуются определить усилия, и рассматривают равновесиеодной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия по второй или по третьей форме условий равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Пример.Пусть требуется определить усилие в стержне В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru фермы, изображенной на рисунке. Действующие вертикальные силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , реакции опор В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Проведем сечение В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru через стержни 4,5,6 и рассмотримравновесие левой части фермы, заменяя действие на нее правой части силами, направленными вдоль стержней 4,5,6. Чтобы найти В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru составим уравнение моментов относительно точки С, где пересекаются стержни 4 и 5. Получим, считая В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru ,

Отсюда находим В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Плечо СВ вычисляем по данным, определяющим направления и размеры стержней фермы.

В данном примере В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru Следовательно, В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru Стержень растянут.

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Усилия в стержнях 4 и 5 можно найти, составляя уравнения моментов относительно центров В (точка пересечения стержней 5 и 6) и А (точка пересечения стержней 4 и 6).

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Чтобы определить усилие в стержне 9 той же фермы, проводим сечение В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru через стержни 8, 9 и 10. Получим

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

откуда находим В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Усилия в стержнях 8 и10 можно в этом случае найти, составив уравнения моментов относительно центров К и С.

Примеры.

Пример 1. К веревке AD, один конец которой закреплен в точке A, привязаны в точке D груз P и веревка BCD, перекинутая через блок; к концу ее привязана гиря Q весом 10 кН. Определить, пренебрегая трением в блоке, натяжение T веревки и вес груза P, если углы, образуемые веревками с вертикалью В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Решение. Рассмотрим равновесие узла B. Этот узел находится в равновесии под действием активной силы В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru и реакций нитей В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , причем В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru (рис. 12). Выбирая начало системы координат в точке B, получим систему сил, представленную на рис.13. Cоставляя уравнения равновесия, получим

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Подставляя сюда вместо В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru их численные значения и решая систему уравнений, находим

Пример 2. На двух взаимно перпендикулярных гладких наклонных плоскостях AB и BC лежит однородный шар весом P=6 кН. Определить давление шара на каждую из плоскостей, считая, что плоскость составляет с горизонтом угол 600

Решение. Составим уравнения равновесия, (рис. 15):

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Отсюда находим, что В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Пример 3. Определить реакции опор и усилия в четырех невесомых стержнях плоской фермы (рис. 16).

Дано: В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Решение. 1. Определим реакции опор. Линии действия двух сил В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru известны. По теореме о трех силах линия действия реакции В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , неподвижного шарнира проходит через точку A и точку пересечения линий действия сил В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Из В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru находим В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Уравнение равновесия данной системы сил имеют вид

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Отсюда получим

Так как модуль реакции В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru отрицательный, то реакция В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru направлена противоположно показанной на рисунке.

2.

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Определим усилия в стержнях 1, 2, 3, 4. Для этого вырежем (мысленно) сначала узел В, где соединены два стержня, 1 и 2. К узлу B приложим реакции стержней В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru а также известную реакцию В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Предположим, что оба стержня растянуты, т.е. усилия В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , приложенные к узлу, направлены от узла B вдоль стержней, рис. 17. Из уравнений равновесия узла B получим

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

где В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru (рис. 16). Отсюда находим

Отрицательный знак модуля усилия В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru означает, что эта сила направлена к узлу, т.е. стержень 2 сжат. Стержень 1 растянут.

Вырежем теперь узел D. Усилие В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru в первом стержне найдено и, следовательно, неизвестны теперь модули двух усилий в стержнях 3 и 4, В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru ,. Приложим к узлу реакции отрезанных стержней В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , предполагая их растянутыми, т.е. направленными от узла D, (рис. 18). При этом В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru .

Из уравнений равновесия узла D имеем:

       
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru   В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru
 

Следовательно В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , (3-ий стержень нулевой), В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru (4-й стержень растянут).

Проверим решение графическим методом. Построим в масштабе замкнутые силовые треугольники для узлов и, в каждом по известной силе и известным линиям действия двух сил, рис. 19, 20. Из этих треугольников следуют те же результаты, которые получены аналитическим методом.

Пример 4. Определить усилия в невесомых стержнях пространственной фермы, состоящей из шести невесомых стержней. Стержни соединены в узлах и с опорами в вершинах прямоугольного параллелепипеда шарнирами как показано на рис. 21.

В прямоугольном параллелепипеде ABCOKEDL с ребром параллельным оси z равным a=3 м имеем уголы: В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru . Углы, составленные силами В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru c осями x,y,z, соответственно, указаны в скобках В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Решение. Из В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru имеем

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Вырежем узел B и заменим отрезанные стержни их реакциями, предполагая эти стержни растянутыми. Составим уравнения равновесия для узла B, в котором соединены три стержня.

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Отсюда

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Таким образом, стержни 1, 2 растянуты, стержень 3 сжат.

Вырежем теперь узел E . Заменим отрезанные стержни их реакциями, предполагая стержни растянутыми. При этом модули реакций стержня 3 в узлах B и E равны В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru , Уравнения равновесия узла E:

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Отсюда

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

 
  В проекциях на оси координат условия равновесия, представляются в виде - student2.ru

Следовательно, стержни 4 и 5 сжаты, стержень 6 растянут.

Наши рекомендации