Постановка задачи оптимального синтеза
Общая идея оптимального синтеза состоит в том, чтобы при заданных условиях и ограничениях получить фильтр, который бы имел наилучшие параметры:
ü Минимальный порядок;
ü Минимум максимального отклонения реальной характеристики от желаемой;
ü Малый собственный шум и т.д.
Преследуемая цель может быть выражена формально как функция одного или нескольких аргументов, которые нужно минимизировать. Такая функция называется целевой. Ею определяется качество достижения поставленной цели, оцениваемое параметром, называемым допустимое отклонение. Целевая функция может быть задана по-разному:
1) В форме явной аналитической зависимости:
где х - некоторый аргумент.
2) В виде алгоритма;
3) В форме уравнения, решением которого является функция 
;
4) В виде таблицы.
Очень часто при конструировании фильтров в качестве критерия оптимальности используется мера близости 
реальной АЧХ к желаемой. Формула для оценивания меры близости:
где
весовая функция;
АЧХ или аппроксимируемая функция;
аппроксимирующая функция.
Лекция 7. Синтез БИХ фильтров. Аппроксимация АЧХ БИХ-фильтра рациональными функциями.
Представление сигналов в Р – области
Математическое описание аналоговых сигналов в Р–области основано на односторонних преобразованиях Лапласа. Односторонним преобразованием Лапласа функции f(t) называется следующая пара взаимно-однозначных преобразований:
прямое преобразование,
обратное,
где f(t) - оригинал, непрерывная функция (вещественная или комплексная) удовлетворяющая условию Дирихле: на любом конечном интервале в области задания непрерывна и имеет конечное число разрывов I рода, минимум и максимум;
Р- оператор Лапласа 
;
F(p) – это р–изображение или р–образ функции f(t), результат преобразования Лапласа;
С – любой замкнутый контур, охватывающий начало координат р – плоскости и особые точки подинтегральной функции ( 
).
Z – преобразование
При исследовании дискретных сигналов и линейных дискретных систем вместо преобразования Лапласа используется Z – преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа в результате следующей замены переменных:
- оригинал (последовательность вещественных или комплексных отчетов);
- результат z-преобразования.
Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем в z области (на комплексной z-плоскости) основано на одностороннем z-преобразовании функции времени , где =0 при n <0, z- плоскость представляет собой окружность.
Синтез БИХ- фильтров
Синтез цифрового фильтра по заданным требованиям к его характеристикам сводится к решению задачи аппроксимации требуемой АЧХ фильтра, которая решается чисто математическими методами, в области, определяющей назначение фильтра.
Если аппроксимация производится в p-области, то получим аналоговый фильтр, а если в z- области, то цифровой фильтр.
При синтезе стандартных частотно избирательных БИХ- фильтров (ВЧ, НЧ, полосовой, режекторный) удобнее всего воспользоваться хорошо развитым аппаратом расчета аналоговых фильтров и методами преобразования аналоговых фильтров в цифровые, то есть переходов из p-области в z- область.
Такой синтез включает в себя:
□ выбор метода отображения р-области в z-область;
□ расчет аналогового фильтра по требованиям, заданным к цифровому фильтру;
□ применение к аналоговому фильтру выбранного метода отображения р-области в z-область.
Аналоговый фильтр, рассчитываемый по требованиям, заданным к цифровому фильтру, называется фильтром-прототипом.
Основными ограничениями для методов синтеза цифровых фильтров по прототипам являются:
1. сохранение существенных свойств амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) прототипа в АЧХ цифрового фильтра;
2. устойчивый прототип должен быть преобразован в устойчивый цифровой фильтр.
Для преобразования аналогового фильтра в цифровой фильтр наиболее часто применяются два метода:
1. стандартное z- преобразование;
2. билинейное z- преобразование.