Постановка задачи оптимального управления

Рассмотрим задачу оптимального управления:

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , (9.1.1)

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , (9.1.2)

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru (9.1.3)

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , (9.1.4)

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru – кусочно–непрерывна

Моменты времени Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru будем считать заданными. Дифференциальные уравнения в (9.1.2) описывают движение некоторого управляемого объекта (течение управляемого процесса, изменения управляемой системы) в зависимости от времени t. Предполагается, что вектор Постановка задачи оптимального управления - student2.ru (фазовые координаты) характеризует движение объекта (например, координаты объекта), а вектор Постановка задачи оптимального управления - student2.ru характеризует управление объектом (например, «положения рулей» объекта) в момент времени t. Согласно (9.1.2), начальное состояние объекта определено Постановка задачи оптимального управления - student2.ru . Если управление определено, то фазовые координаты объекта определяются как решение задачи Коши

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru .

Для приближенного решения задачи разобьем отрезок Постановка задачи оптимального управления - student2.ru на Постановка задачи оптимального управления - student2.ru частей точками Постановка задачи оптимального управления - student2.ru и приняв эти точки в качестве узловых, заменим интеграл в (9.1.1) квадратурной формулой прямоугольников, уравнения (9.1.2) – разностными формулами с помощью явной схемы Эйлера. В результате придем к дискретной задаче оптимального управления:

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , (9.1.5)

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , (9.1.6)

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , (9.1.7)

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , (9.1.8)

где Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru . Задача (9.1.5)– (9.1.8) имеет самостоятельный интерес и возникает при описании управляемых дискретных систем, в которых сигналы управления поступают в дискретные моменты времени, фазовые координаты также меняются дискретно.

Система (9.1.6) с некоторым дискретным управлением Постановка задачи оптимального управления - student2.ru однозначно определяет соответствующую дискретную траекторию Постановка задачи оптимального управления - student2.ru обозначим ее Постановка задачи оптимального управления - student2.ru . Зафиксируем некоторое Постановка задачи оптимального управления - student2.ru и через Постановка задачи оптимального управления - student2.ru обозначим множество управлений Постановка задачи оптимального управления - student2.ru таких, что 1) выполнены условия (9.1.8); 2) дискретная траектория Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , соответствующая управлению Постановка задачи оптимального управления - student2.ru и выбранному начальному условию Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , удовлетворяет ограничениям (9.1.7). Следовательно:

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru удовлетворяет (9.1.8); траектория Постановка задачи оптимального управления - student2.ru удовлетворяет (9.1.7)}.

Пару (u0 , х0), состоящую из управления и траектории, будем называть допустимой для задачи (9.1.5)–(9.1.8), если эта пара удовлетворяет всем условиям (9.1.6)–( 9.1.8) или, иначе говоря, Постановка задачи оптимального управления - student2.ru . Если Постановка задачи оптимального управления - student2.ru при всех Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , то условия (9.1.6)–

(9.1.8) несовместны и функция (9.1.5) будет определена на пустом множестве.

Обозначим

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru .

Задача (9.1.5)–(9.1.8) формулируется кратко:

минимизировать Постановка задачи оптимального управления - student2.ru при Постановка задачи оптимального управления - student2.ru Постановка задачи оптимального управления - student2.ru .

Допустимую пару Постановка задачи оптимального управления - student2.ru назовем решением задачи (9.1.5)–(9.1.8), если

Постановка задачи оптимального управления - student2.ru .

Будем называть Постановка задачи оптимального управления - student2.ru – оптимальным управлением, Постановка задачи оптимального управления - student2.ru – оптимальной траекторией задачи (9.1.5)–(9.1.8).

Задача (9.1.5)–(9.1.8) является задачей минимизации функции Постановка задачи оптимального управления - student2.ru переменных и для ее решения, в принципе, могут быть использованы методы нелинейного программирования (НЛП). Отмеченная размерность в практических задачах может быть очень высокой, а множества Постановка задачи оптимального управления - student2.ru , Постановка задачи оптимального управления - student2.ru заданы неявно, что сильно усложняет задачу НЛП.

Наши рекомендации