Определение момента инерции твердого тела

Методом колебаний

Цель работы: Изучение закона сохранения энергии, экспериментальное определение момента инерции колеса.

Приборы и принадлежности: Колесо на горизонтальной оси, вспомогательный груз, штангенциркуль, линейка, электрический секундомер.

Методика и техника эксперимента

Целью работы является определение момента инерции колеса J. Закрепленное на горизонтальной оси, колесо находится в безразличном равновесии. Если к ободу махового колеса прикрепить с помощью винта какое-либо тело небольших размеров, то безразличное равновесие системы заменяется устойчивым, т.е. колесо, выведенное из состояния равновесия, совершает колебания.

Прикрепим к колесу шарик радиуса r, диаметром d и массой m. Радиус колеса равен R, диаметр D.

Отклоним колесо от положение равновесия на малый угол j₀. Будем считать, что трение в оси вращения и о воздух пренебрежимо мало. Колесо станет совершать колебания по гармоническому закону с амплитудой j₀ и периодом Т. Уравнение движения будет иметь вид:

.

Угловая скорость вращательного движения колеса тоже будет изменяться по гармоническому закону:

Она принимает максимальное значение, равное

, (1)

в те моменты времени, когда шарик находится в нижней точке траектории (здесь учитывается тот факт, что синус по модулю не может превышать единицы).

Рассмотрим два состояния системы тел “колесо + шарик”, изображенные на рисунке и применим закон сохранения энергии. В крайнем состоянии I система обладает запасом потенциальной энергии вследствие того, что шарик поднят на высоту h:

.

В состоянии II эта система тел обладает кинетической энергией вращательного движения:

,

где J и J_ш - моменты инерции колеса и шарика относительно оси вращения О. По закону сохранения энергии имеем:

или с учетом (1)

. (2)

Отсюда выразим момент инерции колеса:

. (3)

Шарик движется по окружности радиуса . Его момент инерции найдем по теореме Штейнера:

. (4)

Выразим высоту h через угол отклонения колеса j₀. Из рисунка видно, что , откуда . Учитывая известное тригонометрическое соотношение и условие малости угла отклонения j₀, при котором , получаем:

. (5)

Подставив (4) и (5) в (3), получим: .

Если t - время полных n колебаний, то период равен . С учетом последнего выражения расчетная формула для момента инерции колеса принимает вид:

. (6)

Порядок выполнения работы

1. Вывести систему из положения равновесия, придав ей угловое смещение 30-40°, и предоставить ей возможность свободно колебаться.

2. Измерить по секундомеру время n полных колебаний t. Известно, что по мере увеличения n погрешность измерений уменьшается. Однако при большом n колебания становятся затухающими, поэтому целесообразно выбрать n = 5-10 колебаний. Опыт повторить 5 раз.

3. Произвести штангенциркулем однократное измерение диаметра d шарика.

4. Произвести линейкой однократное измерение диаметра D колеса.

5. Результаты измерений и погрешности измерительных приборов занести в таблицу.

6. Произвести математическую обработку результатов измерений, найти по формуле (6) момент инерции колеса J и его погрешность DJ.

Таблица измерений

№ пп	t, с	n	Dtси, с	D, см	DDси, мм	d, мм	Ddси, мм	m, г

Контрольные вопросы

1. Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела. В каких единицах он измеряется?

2. Сформулируйте теорему Штейнера.

3. Механическая энергия и ее виды. Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движении.

4. Сформулируйте законы изменения и сохранения .энергии в механике.

5. Запишите уравнение свободных незатухающих колебаний. Дайте определения основных характеристик этого движения (амплитуды, фазы, периода, частоты).

6. Получите зависимость скорости колебательного движения от времени. Чему равно максимальное значение скорости?

7. Выведите расчетную формулу.

Лабораторная работа 3-2