Лекция 1. Теория погрешности
Лекция 1. Теория погрешности
Виды погрешностей вычислительного эксперимента:
1. Погрешность математической модели.
2. Погрешность исходных данных.
3. Погрешность численного метода (дискретизации).
4. Погрешность вычислений.
Три простых примера
Пример 1.
, 
, 
(1)
(2)
(3)
| № строки |  | Формула 1 | Формула 2 | Формула 3 | |
| 1,4 | 0,005076142 | ||||
| 1,41 | 0,003558719 | 0,3 | 0,005058169 | ||
| 1,414 | 0,004975124 | 0,02 | 0,005051015 | ||
| 1,4142 | 0,005045839 | 0,006 | 0,005050658 | ||
| 1,41421 | 0,005049374 | 0,0053 | 0,005050640 | ||
| 1,414214 | 0,005050789 | 0,00502 | 0,005050633 | ||
| 1,4142136 | 0,005050647 | 0,005048 | 0,005050634 | ||
| 1,41421356 | 0,005050633 | 0,0050508 | 0,005050634 | ||
| 1,414213562 | 0,005050634 | 0,00505066 | 0,005050634 | ||
| 1,4142135624 | 0,005050634 | 0,005050632 | 0,005050634 | ||
| 1,41421356237 | 0,005050634 | 0,005050634 | 0,005050634 |
Пример 2.
вариант 1.
Свойство:
N=20, вариант 2
N=200, вариант2'.
| N | En –вариант 1 | En –вариант 2 | En –вариант 2' |
| 0,632120559 | 0,632120559 | 0,632120559 | |
| 0,367879441 | 0,367879441 | 0,367879441 | |
| 0,264241118 | 0,264241118 | 0,264241118 | |
| 0,207276647 | 0,207276647 | 0,207276647 | |
| 0,170893412 | 0,170893412 | 0,170893412 | |
| 0,145532941 | 0,145532941 | 0,145532941 | |
| 0,126802357 | 0,126802357 | 0,126802357 | |
| 0,112383504 | 0,112383504 | 0,112383504 | |
| 0,100931967 | 0,100931967 | 0,100931967 | |
| 0,091612293 | 0,091612293 | 0,091612293 | |
| 0,083877070 | 0,083877070 | 0,083877070 | |
| 0,077352229 | 0,077352229 | 0,077352229 | |
| 0,071773248 | 0,071773254 | 0,071773254 | |
| 0,066947780 | 0,066947703 | 0,066947703 | |
| 0,062731080 | 0,062732162 | 0,062732164 | |
| 0,059033794 | 0,059017565 | 0,059017541 | |
| 0,055459302 | 0,055718954 | 0,055719346 | |
| 0,057191871 | 0,052777778 | 0,052771119 | |
| -0,029453671 | 0,05 | 0,050119855 | |
| 1,559619744 | 0,05 | 0,047722756 | |
| -30,19239489 | 0,045544884 |
Пример 3. Численное дифференцирование
, 
Основные понятия теории погрешности
Опр.1 Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющего последнее в вычислениях.
Опр.2 Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа a называется
Опр.3 Вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ используют так называемую предельную абсолютную погрешность, определяемую как величина ∆a, обладающую свойством
Очевидно
Краткая запись: A=a ± ∆a
Пример 4. Для a=3,14, заменяющего число π имеем 3,14<π<3,15 и ∆a=0,01.
Если учесть, что 3,14<π<3,142, то ∆a=0,002.
Опр.5 Относительной погрешностью δ приближенного числа a называется величина
Опр.6 Предельная относительная погрешность δa удовлетворяет соотношению
Δ ≤ δa·|A|
Тогда 
Очевидно
Пример 5. Пусть x=100 км, ∆x=10 м;
y=10 см, ∆y=1мм; z=500 г, ∆z=5 г.
Пусть
тогда, все n сохраняемых десятичных знаков числа 
называются значащими цифрами приближенного числа a.
Пример 6. a=3·10-2+0·10-3+5·10-4+2·10-5+0·10-6,
a=0,030520
Опр.7 Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда
Экспоненциальная форму представления числа:
a=3.0520·10-2.
Опр.8а. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.
Пример 7а. Пусть A=39,98 и a=40,00, тогда
и a=40,0 или a=4,00·101
Пример 7б. Пусть a=23.642(±0.015), тогда
То есть, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим до десятых долей, получим a1=23.6 и Δокр=0.042. Тогда
Следовательно, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2 и 3. Округлим до целых, получим a2=24 и Δокр=0.358. Тогда
и значит верными являются цифры 2 и 4.
Пример 8а. Пусть в числе a=2,347·10-4 все значащие цифры являются верными в узком смысле, то
∆a≤(0,5·10-3)·10-4=0,5·10-7.
Опр.8б. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицу разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.
Пример 7в. Пусть a=23.642(±0.015), тогда
То есть, предположительно верными в широком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим отбрасыванием до десятых долей, получим a1=23.6 и Δокр=0.042. Тогда
и значит верными в широком смысле являются цифры 2, 3 и 6.
Пример 8б. Пусть в числе a=2,347·10-4 все значащие цифры являются верными в широком смысле, то
∆a≤(10-3)·10-4=10-7.
Литература
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Издание 7-ое. М., Лань, 2009 – с.17-52.
2. Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007 – с.74-88.
Лекция 1. Теория погрешности
Виды погрешностей вычислительного эксперимента:
1. Погрешность математической модели.
2. Погрешность исходных данных.
3. Погрешность численного метода (дискретизации).
4. Погрешность вычислений.
Три простых примера
Пример 1.
,
,
(1)
(2)
(3)
| № строки | | Формула 1 | Формула 2 | Формула 3 | |
| 1,4 | 0,005076142 | ||||
| 1,41 | 0,003558719 | 0,3 | 0,005058169 | ||
| 1,414 | 0,004975124 | 0,02 | 0,005051015 | ||
| 1,4142 | 0,005045839 | 0,006 | 0,005050658 | ||
| 1,41421 | 0,005049374 | 0,0053 | 0,005050640 | ||
| 1,414214 | 0,005050789 | 0,00502 | 0,005050633 | ||
| 1,4142136 | 0,005050647 | 0,005048 | 0,005050634 | ||
| 1,41421356 | 0,005050633 | 0,0050508 | 0,005050634 | ||
| 1,414213562 | 0,005050634 | 0,00505066 | 0,005050634 | ||
| 1,4142135624 | 0,005050634 | 0,005050632 | 0,005050634 | ||
| 1,41421356237 | 0,005050634 | 0,005050634 | 0,005050634 |
Пример 2.
вариант 1.
Свойство:
N=20, вариант 2
N=200, вариант2'.
| N | En –вариант 1 | En –вариант 2 | En –вариант 2' |
| 0,632120559 | 0,632120559 | 0,632120559 | |
| 0,367879441 | 0,367879441 | 0,367879441 | |
| 0,264241118 | 0,264241118 | 0,264241118 | |
| 0,207276647 | 0,207276647 | 0,207276647 | |
| 0,170893412 | 0,170893412 | 0,170893412 | |
| 0,145532941 | 0,145532941 | 0,145532941 | |
| 0,126802357 | 0,126802357 | 0,126802357 | |
| 0,112383504 | 0,112383504 | 0,112383504 | |
| 0,100931967 | 0,100931967 | 0,100931967 | |
| 0,091612293 | 0,091612293 | 0,091612293 | |
| 0,083877070 | 0,083877070 | 0,083877070 | |
| 0,077352229 | 0,077352229 | 0,077352229 | |
| 0,071773248 | 0,071773254 | 0,071773254 | |
| 0,066947780 | 0,066947703 | 0,066947703 | |
| 0,062731080 | 0,062732162 | 0,062732164 | |
| 0,059033794 | 0,059017565 | 0,059017541 | |
| 0,055459302 | 0,055718954 | 0,055719346 | |
| 0,057191871 | 0,052777778 | 0,052771119 | |
| -0,029453671 | 0,05 | 0,050119855 | |
| 1,559619744 | 0,05 | 0,047722756 | |
| -30,19239489 | 0,045544884 |
Пример 3. Численное дифференцирование
,
Основные понятия теории погрешности
Опр.1 Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющего последнее в вычислениях.
Опр.2 Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа a называется
Опр.3 Вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ используют так называемую предельную абсолютную погрешность, определяемую как величина ∆a, обладающую свойством
Очевидно
Краткая запись: A=a ± ∆a
Пример 4. Для a=3,14, заменяющего число π имеем 3,14<π<3,15 и ∆a=0,01.
Если учесть, что 3,14<π<3,142, то ∆a=0,002.
Опр.5 Относительной погрешностью δ приближенного числа a называется величина
Опр.6 Предельная относительная погрешность δa удовлетворяет соотношению
Δ ≤ δa·|A|
Тогда
Очевидно
Пример 5. Пусть x=100 км, ∆x=10 м;
y=10 см, ∆y=1мм; z=500 г, ∆z=5 г.
Пусть
тогда, все n сохраняемых десятичных знаков числа называются значащими цифрами приближенного числа a.
Пример 6. a=3·10-2+0·10-3+5·10-4+2·10-5+0·10-6,
a=0,030520
Опр.7 Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда
Экспоненциальная форму представления числа:
a=3.0520·10-2.
Опр.8а. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.
Пример 7а. Пусть A=39,98 и a=40,00, тогда
и a=40,0 или a=4,00·101
Пример 7б. Пусть a=23.642(±0.015), тогда
То есть, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим до десятых долей, получим a1=23.6 и Δокр=0.042. Тогда
Следовательно, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2 и 3. Округлим до целых, получим a2=24 и Δокр=0.358. Тогда
и значит верными являются цифры 2 и 4.
Пример 8а. Пусть в числе a=2,347·10-4 все значащие цифры являются верными в узком смысле, то
∆a≤(0,5·10-3)·10-4=0,5·10-7.
Опр.8б. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицу разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.
Пример 7в. Пусть a=23.642(±0.015), тогда
То есть, предположительно верными в широком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим отбрасыванием до десятых долей, получим a1=23.6 и Δокр=0.042. Тогда
и значит верными в широком смысле являются цифры 2, 3 и 6.
Пример 8б. Пусть в числе a=2,347·10-4 все значащие цифры являются верными в широком смысле, то
∆a≤(10-3)·10-4=10-7.