Изучение вынужденных колебаний

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Вынужденными колебаниями называются колебания, происходящие под действием периодически изменяющейся внешней (вынуждающей) силы. Если первоначально колебательная система находилась в состоянии покоя, то под действием вынуждающей силы она выйдет из этого состояния. Часть энергии колебательного движения будет затрачиваться на преодоление сил сопротивления. По мере увеличения амплитуды колебаний эта часть возрастает и наступит момент, когда работа, совершаемая вынуждающей силой, станет равной убыли энергии колеблющегося тела. Начиная с этого момента, амплитуда перестанет увеличиваться, и колебания станут установившимися.

В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

. (1)

Тогда установившиеся колебания являются гармоническими и их частота равна частоте изменения вынуждающей силы.

Пусть на колеблющееся тело массой действуют возвращающая сила:

,

сила сопротивления среды:

и вынуждающая сила

.

Дифференциальное уравнение движения этого тела запишем согласно второму закону Ньютона в виде:

(2)

или, введя обозначения: и ,

, (3)

где - собственная частота колебательной системы, - коэффициент затухания, - угловая частота вынуждающей силы.

Решение этого уравнения имеет вид:

, (4)

где - сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями. Подставив в уравнение (3) выражение (4), а также первую и вторую производные от него, получим:

(5)

Из выражения (5) видно, что амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты изменения вынуждающей силы и при некотором её значении, близком к частоте собственных колебаний, достигает максимума.

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний называется резонансом. Соответствующая резонансу частота вынуждающей силы носит название резонансной частоты w_рез. В нашем случае:

, (6)

амплитуда вынужденных колебаний при резонансе:

. (7)

Из выражения (7) в частности следует, что в отсутствии затухания ( = 0) амплитуда при резонансе должна была бы обращаться в бесконечность. Однако это неверно, т.к. при больших амплитудах колебания перестают быть гармоническими, поэтому исходное уравнение (2) невозможно использовать для их описания.

Если же коэффициент затухания мал по сравнению с угловой частотой собственных колебаний системы:

,

то резонансная частота весьма близка к частоте собственных колебаний:

(8)

и амплитуда при резонансе может быть выражена в виде:

. (9)

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой и представлен на рис. 1. Кривые построены для систем с одинаковой частотой собственных колебаний и различными значениями коэффициента затухания. Видно, что по мере его возрастания максимальная амплитуда уменьшается, а резонансная частота сдвигается в область малых частот в соответствии с выражением (6).

Рассчитаем так называемую ширину резонансной кривой для энергии колеблющегося тела, равной половине энергии его колебаний на частоте резонанса (рис. 2). Так как энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды, уменьшение энергии в два раза соответствует уменьшению амплитуды колебаний до уровня 0,707 . В случае малого затухания резонансная амплитуда определяет­ся соотношением (9). На произвольной частоте амплитуда вынуж­денных колебаний рассчитывается согласно (5), которые отличают­ся друг от друга только знаменателями. Энергия системы на частотах и должна быть равна половине его энергии на резонансной частоте , это означает, что:

.

Пренебрегая членами высшего порядка малости и учитывая, что при малом затухании справедливо (8) и , получаем:

или

. (10)

Коэффициент затухания характеризует рассеяние энергии системой в единицу времени. Потери энергии за период колебаний определяются логарифмическим декрементом затухания. Эти величины связаны соотношением:

, (11)

где - период собственных колебаний, связанный с угловой частотой:

.

Отметим, что соотношения (10) и (11) справедливы только в случае малого затухания колебаний.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Работа выполняется на установке с двумя маятниками (рис. 3). Один из них тяжелый, с большим запасом энергии и постоян­ным периодом колебаний Т, используется в качестве задающего вибратора. Другой маятник, более легкий, служит резонатором и раскачи­вается под действием толчков маятника вибратора.

Маятник-резонатор представляет собой небольшой груз Г, под­вешенный на нити. Эта нить проходит через канал в оси маятника-вибратора. На другом её конце подвешен противовес П. Противо­вес и трение нити о стенки канала оси позволяют достаточно надежно обеспечить заданную длину маятника-резонатора. В то же время это дает возможность легко менять длину маятника-резонатора, подтягивая нить за груз на одном ее конце или за противовес на другом конце нити.

Измерения начинают с установки длины маятника-резонатора, соответствующей наименьшему значению на вертикальной шкале. За­тем, отклонив маятник-вибратор до деления, указанного преподава­телем, отпускают его. Толчки маятника-вибратора раскачивают маятник-резонатор. Когда его амплитуда перестанет возрастать, произ­водят отсчет её значения на горизонтальной шкале по наибольшему отклонению нити маятника.

Во избежание ошибок за счет параллакса, глаз в момент от­счета нужно располагать перпендикулярно шкале. Измерения повторяют при различной длине маятника-резонатора.

Для построения амплитудно-резонансной кривой, кроме значе­ния резонансной амплитуды, нужно определить еще не менее пяти раз значения амплитуды при различных длинах резонатора до резонанса и не менее пяти значений амплитуды после него.

ЗАДАНИЕ

I. В условных делениях снять значения амплитуды колебаний маятника-резонатора и его длины, внеся данные в таблицу.

2. Построить резонансную кривую, откладывая по оси абсцисс длину резонатора в условных делениях, а по оси ординат амплитуду его колебаний в см.

3. По 20полным колебаниям определить период колебания вибратора Т и период колебаний маятника-резонатора, соответствующий максимальной амплитуде, рассчитать период, пренебрегая затуханием.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Часть I

№	L, усл. ед.	А, см

Часть II

n= 20, A_max= , .

	t, с	T,с
Маятник-вибратор
Маятник-резонатор

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12м

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Волнами называются распространяющиеся в упругой среде слабые возмущения.

Волны бывают:

1. По природе: а) механические; б) электромагнитные.

2. По характеру колебаний частиц в волне:

а) поперечные – волны, в которых направление колебания частиц перпендикулярно направлению распространения волны;

б) продольные – волны, в которых направление колебания частиц совпадает с направлением распространения волны.

3. По виду волновой поверхности (под волновой поверхностью понимают геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе):

а) плоские; б) сферические.

4. По частоте:

а) звуковые (или звук) - волны, частота которых лежит в пределах слышимости человеческого уха (от 20 Гц до 20 кГц).

б) инфразвуковые – волны, частота которых меньше 20 Гц.

в) ультразвуковые – волны, частота которых больше 20 кГц.

Скорость звука u определяется в виде:

, (1)

где Е – модуль упругости среды, - плотность среды. В воздухе, который при нормальных условиях можно считать идеальным газом, скорость звука равна:

, (2)

где R - газовая постоянная ( Дж/моль×К), Т – температура воздуха, m - молярная масса (для воздуха μ = 0.029 кг /моль) и g - показатель Пуассона (для воздуха ).

Важной характеристикой волны является длина волны l - расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковой фазе:

, (3)

где Т – период волны, n= 1/Т - частота колебаний (звука). Математическое выражение, описывающее распространение плоской волны, имеет вид:

, (4)

где x - отклонение частицы волны в некоторой точке от положения равновесия, А - амплитуда волны, - волновое число, w - циклическая частота колебаний, - расстояние от источника колебаний до данной точки среды.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Определение скорости звука осуществляется с помощью прибора, состоящего из стеклянной трубки 1 и поршня 2 (рис. 1). Рядом с трубой размещена шкала 3, по которой определяют положение поршня.

Источником звука служит электродинамический излучатель 4, подключенный к звуковому генератору. От излучателя 4 в положительном направлении оси х распространяется звуковая волна, описываемая уравнением (4). Волна, дойдя до поршня и отразившись от него, распространяется в обратном нaпpaвлении. При этом в трубе oбpaзуется стоячая волна. Перемещая поршень 2 по трубе 1, находят такое положение , при котором звук будет максимально сильным. Положение поршня отсчитывают по шкале 3. При смещении поршня от положения (максимума громкости звука) звук ослабевает, затем снова усиливается до максимума в положении . Поршень перемещается при этом на расстояние, равное половине длины волны: .

Измерив частоту колебаний генератора 5 и длину полуволны, как расстояние между двумя последовательными максимумами звука, можно вычислить скорость звука по формуле:

(5)

ЗАДАНИЕ

1. На данной частоте в пределах от 1000 Гц до 2000 Гц, заданной преподавателем, установить поршень в положение максимума звука при ближайшем расстоянии от излучателя звука. Значение занести в таблицу.

2. Перемещая поршень далее, проделать то же самое для более удаленных положений поршня x₂, x₃, x₄ , соответствующих максимумам громкости звука.

3. Определить среднее значение по формуле:

.

и занести в таблицу.

4. Вычислить скорость звука по формуле (5) и записать в таблицу.

5. Повторить измерения еще для двух частот.

6. Провести обработку полученных результатов. Сравнить полученное значение скорости звука с его теоретическим значением.

РЕЗУЛЬТАТЫ:

№	n, Гц	, см	, см	, см	, см	ср, см	, м	u, м/с

Средний результат: .

Абсолютная погрешность результата: и серии измерений:

.

Относительная погрешность серии измерений: .

Окончательный результат: м/с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16м