Изучение вынужденных колебаний в

КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре под воздействием гармонически изменяющейся ЭДС, исследование зависимости тока в колебательном контуре от частоты генератора, включенного в контур, определение резонансной частоты и добротности колебательного контура.

Приборы и материалы: лабораторный стенд, имеющий набор объектов на плате; генератор сигналов; осциллограф; набор соединительных проводов.

Краткая теория

Колебательная система, выведенная из состояния равновесия, начинает колебаться с собственной частотой. Из-за неизбежных потерь энергии колебания являются затухающими, и со временем система возвращается в состояние равновесия.

Чтобы колебания не затухали, колебательную систему нужно пополнять энергией. Это возможно под действием внешней, периодически изменяющейся силы, при этом система совершает вынужденные колебания.

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (рис. 10.1).

Используя закон Ома для замкнутой цепи, получим для данного контура выражение:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , (10.1)

где изучение вынужденных колебаний в - student2.ru – падение напряжения на активном сопротивлении изучение вынужденных колебаний в - student2.ru ; изучение вынужденных колебаний в - student2.ru – падение напряжения на емкости; изучение вынужденных колебаний в - student2.ru – ЭДС самоиндукции; изучение вынужденных колебаний в - student2.ru ( изучение вынужденных колебаний в - student2.ru ) – ЭДС внешнего источника.

Учитывая, что ЭДС изменяется по гармоническому закону, получим:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru ( изучение вынужденных колебаний в - student2.ru )= изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , а изучение вынужденных колебаний в - student2.ru .

Преобразуем уравнение (10.1) к виду:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , (10.2)

где изучение вынужденных колебаний в - student2.ru – коэффициент затухания свободных колебаний в контуре, изучение вынужденных колебаний в - student2.ru – частота собственных колебаний контура.

Спустя некоторое время после подключения источника ЭДС, в контуре устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой. Установившиеся вынужденные колебания заряда и силы тока в контуре описываются уравнениями:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , (10.3)

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . (10.4)

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru Амплитуда силы тока изучение вынужденных колебаний в - student2.ru и начальная фаза изучение вынужденных колебаний в - student2.ru находятся по формулам:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , (10.5)

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . (10.6)

Графики зависимости изучение вынужденных колебаний в - student2.ru при различных значениях сопротивления изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , называемые резонансными кривыми колебательного контура, представлены на рис. 10.2.

Из формулы (10.5) следует, что амплитуда силы тока в контуре изучение вынужденных колебаний в - student2.ru зависит от частоты питающего напряжения изучение вынужденных колебаний в - student2.ru и она будет максимальна при частоте, отвечающей условию изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , называемой резонансной частотой изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . Выражая отсюда изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , получаем:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . (10.7)

Таким образом, частота внешней вынуждающей ЭДС станет равной частоте собственных колебаний контура.

Резонансная циклическая частота не зависит от сопротивления изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . Амплитуда силы тока при резонансе равна изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . Амплитуда падения напряжения на конденсаторе равна амплитуде падения напряжения на индуктивности (ЭДС самоиндукции):

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru ,

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru .

При изучение вынужденных колебаний в - student2.ru резонансный пик (амплитуда силы тока изучение вынужденных колебаний в - student2.ru ) уходит в бесконечность, при этом энергия постоянно вводится в систему и не рассеивается. В реальных системах сопротивление никогда не равно нулю, поэтому резонансный пик имеет конечную высоту.

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru «Остроту» резонансной кривой можно охарактеризовать с помощью относительной ширины этой кривой. Она определяется как изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , где изучение вынужденных колебаний в - student2.ru - разность значений изучение вынужденных колебаний в - student2.ru и изучение вынужденных колебаний в - student2.ru циклических частот, соответствующих изучение вынужденных колебаний в - student2.ru изучение вынужденных колебаний в - student2.ru (рис. 10.3).

Полагая в формуле (10.5) изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , получаем:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru или

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru .

Заменив изучение вынужденных колебаний в - student2.ru и изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , получим следующее уравнение, которому удовлетворяют искомые значения изучение вынужденных колебаний в - student2.ru и изучение вынужденных колебаний в - student2.ru циклической частоты:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru .

Это биквадратное уравнение эквивалентно следующим двум квадратным уравнениям: изучение вынужденных колебаний в - student2.ru и изучение вынужденных колебаний в - student2.ru .

Решая их совместно и отбрасывая отрицательные корни, так как они не соответствуют физическому смыслу изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , находим, что:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru ,

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru ,

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru .

Относительная ширина резонансной кривой колебательного контура равна отношению активного сопротивления контура к его волновому сопротивлению:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . (10.8)

Колебательную систему принято характеризовать добротностью изучение вынужденных колебаний в - student2.ru – безразмерной величиной, равной произведению изучение вынужденных колебаний в - student2.ru на отношение энергии изучение вынужденных колебаний в - student2.ru колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени от изучение вынужденных колебаний в - student2.ru до изучение вынужденных колебаний в - student2.ru , т.е. за один условный период затухающих колебаний:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . (10.9)

Можно показать, что при малых значениях коэффициента затухания ( изучение вынужденных колебаний в - student2.ru <<1) добротность колебательной системы равна:

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . (10.10)

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru Из (10.9) видно, что относительная ширина резонансной кривой колебательного контура есть величина, обратная добротности контура изучение вынужденных колебаний в - student2.ru :

изучение вынужденных колебаний в - student2.ru . (10.11)

В радиотехнике качество резонансного контура считается тем выше, чем больше его добротность (рис. 10.4).

Колебательный контур широко применяется в радиотехнике для приема сигналов радиостанций, работающих на фиксированных частотах, в измерительной технике для создания селективных вольтметров, реагирующих на выбранную частоту и нечувствительных к сигналам (помехам) других частот.

Наши рекомендации