Методы уточнения корней

Методы решения нелинейных уравнений

Отделение корней

Дано уравнение вида . Всякое значение x, обращающее в нуль функцию f(x), называется корнем функции. Из-за сложного вида функции часто возникают трудности с аналитическим решением, и в этом случае пользуются вычислительными методами для приближенного нахождения корней. Корни требуется получить с заданной наперед точностью ε.

Приближенное нахождение действительных изолированных корней проходит в два этапа: 1) отделение корней, т.е. установление как можно более тесных промежутков, на которых содержится только один корень уравнения; 2) уточнение приближенных корней с точностью ε.

Существует два способа для отделения корней: графический и аналитический. В первом случае строится график функции и находятся точки пересечения с осью абсцисс. Часто сложную функцию f(x) разбивают на две h(x), g(x) таким образом, чтобы уравнение можно было заменить на . В этом случае корень функции f(x) определяется из пересечения графиков двух вспомогательных функций.

Пусть , тогда и .

Из построенного с помощью системы MathCAD графика видно, что имеются два корня: при и .

Для второго способа отделения корней используется следующая теорема (Больцано-Коши):

Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения. Корень будет заведомо единственным, если производная f’(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (а,b).

Рассмотрим аналитический способ отделения корней для следующего примера: . Требуется найти участки, на которых производная сохраняет знак. Для этого необходимо вычислить корни уравнения ). В промежутках между корнями знак производной сохраняется. Решая уравнение: , находим три корня: , , . Следовательно, имеются четыре интервала: , , , , на которых знак производной не меняется. Для определения промежутков, в которых содержаться корни функции f(x) , необходимо исследовать знак функции на концах интервалов. Результат такого исследования удобно представить в таблице:

X	–¥				+¥
Sign f(x)	+	–	+	–	+

Из таблицы видно, что все четыре корня по одному находятся внутри отдельных интервалов. Промежутки отделения корней можно сузить путем подбора. При этом необходимо следить, чтобы на концах отрезка [a,b], внутри которого ищется корень, выполнялось бы неравенство f(a)×f(b)<0. Так интервал , можно заменить на интервал . Заметим, что если бы функция в точке –1/5 была отрицательна, то она имела бы всего два действительных корня в интервалах и . Это означало бы, что у данной функции два других корня – комплексные.

Методы уточнения корней

Метод половинного деления (метод дихотомии) предназначен для уточнения значения корня на отрезке [a,b] с заданной точностью ε. Суть этого метода заключается в том, что сначала находится середина отрезка , затем определяется часть отрезка, [a,с] или [с,b], внутри которого располагается корень. Если f(a)×f(с)<0 , то корень содержится внутри отрезка [a,с] и деление можно продолжить, приняв за правый конец точку с, выполнив присваивание b=c. В противном случае, когда f(с)×f(b)<0, в точку с смещается левый конец отрезка: а=с. и т.д. Процесс половинного деления следует остановить, когда длина отрезка окажется меньше заданной точности: . Любая точка внутри такого отрезка – искомое решение.

Ниже приведены результаты уточнение корня рассмотренной выше функции на интервале , с точностью .

Вычисления с помощью электронных таблиц можно проводить, вручную, отслеживая знак произведений f(a)×f(с) и f(с)×f(b). Процесс можно автоматизировать если

использовать условную функцию «ЕСЛИ». В данном примере в ячейках третьей строки таблицы записаны следующие формулы:

A	B	C	D
=ЕСЛИ(D2=D3;A2;C2)	=ЕСЛИ(E2=E3;B2;C2)	=(A3+B3)/2	=ЕСЛИ(D2*F2<0;D2;F2)

E	F	G
=ЕСЛИ(E2*F2<0;E2;F2)	=5/4*C3^4+1/3*C3^3-5*C3^2-2*C3+1	=ABS(A3-B3)

нижние строки заполняются с помощью копирования.

Вычисления с помощью MathCAD удобнее производить, используя программирование. Слева приведен пример такой программы.