Методы локализации корней алгебраического уравнения

Расс. алг. ур. степени Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru (1) с вещественными коэф-ми. Ур. (1) имеет ровно Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru корней с учетом их кратности. Корни алг. ур. степеней 2, 3 и 4 выражаются в радикалах через свои коэфф. Корни могут быть как действительные, так и комплексные. При этом, если ур. (1) имеет корнем комплексное число Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , то корнем ур. будет и комплексно сопряженное ему число Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Это непосредственно следует из равенства Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , справедливого для любых комплексных чисел Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Т.о., алг. ур. нечетной степени имеют хотя бы один действительный корень. Для нахождения вещественных корней алг. ур. (1) можно применить методы решения численных ур. Верхнюю и нижнюю оценки модуля корней алг. ур. дает

Теор. Если Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru (2)

то все корни ур. (1) распол. в кольце Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru (3)

Для оценки верхней границы положительного корня может оказаться полезной

Теорема Если Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru - максимум абсолютных величин отрицательных коэфф. ур., Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru и первый отрицательный коэфф. в ряду Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru есть Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , то все положительные корни ур. меньше Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru (если отрицательных коэфф. нет, то нет и положительных корней).

Для оценки верхней границы положительного корня может оказаться полезной

Теорема (теорема Ньютона). Если при Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru полином Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru и все его производные Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru неотрицательны, то Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru может быть принято за верхнюю границу положительных корней ур. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru .

Для отделения действительных корней алгебраического уравнения может быть использована

Теорема (теорема Штурма). Пусть ур. (1) не имеет кратных корней. Обозначим через Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru производную Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru ; через Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru остаток от деления Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru на Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , взятый с обратнымзнаком; через Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru остаток от деления Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru на Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , взятый с обратным знаком и т.д., до тех пор пока не придем к постоянной. Получим последов. ф.

Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , (4)наз. рядом Штурма.

Число действительных корней ур. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , расположенных на Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru равно разности между числом перемен знаков в последов. (4) при Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru и числом перемен знаков в последов. (4) при Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru .

При решении ур. (1) приходится многократно вычислять знач. мног..

Для вычисления знач. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru следует пользоваться схемой Горнера, кот. можно записать в виде

Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru (5)

Вычисления в схеме Горнера можно описать также рекуррентными соотн. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru .(6)

Схема Горнера дает также удобный способ получения частного от деления мног. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru на линейный множитель Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Действительно, можно убедиться, выражение Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru обращается в тождество мног. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , коэфф. кот. вычисляются по форм. (6). Нахождение частного Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru и остатка Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru от деления Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru на квадратный трехчлен Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru можно провести с использованием форм.

Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru Эти форм. получ. из тожд. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru

сравнением коэфф. при одинаковых степенях Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Покажем, что вычисление производных мног. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru в точке Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru сводится к последов. делению на линейный множитель Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Частное от деления мног. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru на Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru обозн. через Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Тогда можно записать Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru .

При последов. делении на Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru получаем последов. мног. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Коэфф. мног. вычисляются по рекуррентным форм. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru (7). Здесь для симметрии положили Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . В результате получается представление мног.

Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Сравнивая это выражение с разложением Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru в ряд Тейлора в окр. точки Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru : Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru , получаем соотн. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru . Т.е., используя рекуррентные соотн. (7), можно найти производные мног. Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru в точке Методы локализации корней алгебраического уравнения - student2.ru .

Наши рекомендации