Метод половинного деления. Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления
Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b)<0 (2).
Алгоритм метода
1. Найти середину отрезка [a,b] ; c=(a+b)/2.
2. Если f(c)=0, то с - точный корень и процесс заканчивается.
3. Иначе если f(a)f(c)>0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).
4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a<=ε), то x=c и процесс заканчивается, иначе идти к п.1.
Решение одного варианта
1. Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления с точностью до 0.01: x4-x3-2x2+3x-3=0.
Полагая f(x)= x4-x3-2x2+3x-3, имеем f’(x)=4x3-3x2-4x+3.
Найдем нули производной: 4x3-3x2-4x+3=0; 4x(x2-1)-3(x2-1)=0;(x2-1)(4x-3)=0;
x1=-1; x2=1; x3=3/4.
Составим таблицу знаков функции f(x):
| x | -∞ | -1 | 3/4 | +∞ | |
| f(x) | + | - | - | - | + |
Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x1 
(-∞;-1) и x2 (1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:
| x | -2 | -1 | ||
| f(x) | + | - | - | + |
Следовательно, x1 (-2;-1) и x2 (1;2).
Уточним один из корней, например, x1, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:
x1≈-1,73.
Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.
2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.
Перепишем уравнение в виде 
. Обозначим 
, 
и построим графики этих функций:
Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].
Уточним корень на отрезке [2;3]:
Ответ: x1=0, x2=2,59, x3=-2,59.
Задания
1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.
1. 3x4+4x3-12x2-5=0
2. 2x3-9x2-60x+1=0
3. x4-2x-1=0
4. 2x4-x2-10=0
5. 3x4+3x3+6x2-10=0
6. x4-18x2+6=0
7. x4+4x3-3x2-17=0
8. x4-x3-2x2+3x-3=0
9. 3x4+4x3-12x2+1=0
10. 3x4-8x3-18x2+2=0
11. 2x4-3x3+8x2-1=0
12. 2x4+8x3+3x2-1=0
13. x4-4x3-8x2+1=0
14. 3x4+4x3-12x2-5=0
15. 2x3-8x2-30x+1=0
16. x4-30x-2=0
17. 2x4-2x2-7=0
18. 3x4+8x3+6x2-10=0
19. x4-18x2+6=0
20. x4+4x3-3x-7=0
21. x4-2x3-x2+3x-3=0
22. 3x4+4x3-3x2-17=0
23. 2x4-5x3-12x2+2=0
24. 3x4+9x3-14x2+1=0
25. x4+2x3-x-1=0
26. x4+8x3-6x2-72x=0
27. x5-x-0,2=0
28. x4-3x2+75x-10000=0
2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.
1. (x-3)cosx=1
2. sin(x+π/3)-0.5x=0
3. (x-1)2lg(x+11)=1
4. cos(x+0.5)=x3
5. 5sinx=x-1
6. tg3x=x
7. x2cos2x=-1
8. xlg(x+1)=1
9. x2-20sinx=0
10. 2lgx-x/2+1=0
11. (x-2)cosx=1
12. sin(x-0.5)-x+0.5=0
13. x2-20sinx=0
14. cos(x+0.3)=x2
15. 5sinx=x=1
16. tg2x=x
17. x2sin2x=1
18. xlg(x+2)=1
19. x2-10sinx=0
20. 2lgx-x/2+1=0
21. (x-5)cosx=-1
22. sin(x+5)=0.5x
23. x2lg(x=7)=1
24. cos(x-0.5)=x2
25. (0,2х)3=сosx
26. x-10sinx=0
27. 2lg(x+7)-5sinx=0
28. 1.2-lnx=4cos2x
Лабораторная работа №3
Решение нелинейных уравнений методом хорд
Краткая теория
Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):
Здесь ξ - точный корень уравнения (1), x 
- начальное приближение к корню, x 
-точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x ] и получается второе приближение к корню - x 
. В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x ,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x =b,
x 
=a- 
(2)
Для случая неподвижного конца b используется формула: x =a,
x =x 
- 
(3)
Правило определения неподвижного конца хорды:
Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе - конец a.
Погрешность метода
Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка: 
Алгоритм метода
1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x другой конец отрезка.
2. Вычислить новое приближение к корню x по формуле (2) или (3).
3. Если длина отрезка [x , x ] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x или x , иначе идти к п.2
Решение одного варианта
1.Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x 
.
Отделим корень графически. Построим графики функций
y =tg(0.5x+0.1) и y =x :
Таким образом, уравнение имеет два корня
x [0.5; 1] и x [-0.5; 0]
Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x на промежутке [0.5;1]. Имеем
f ‘(x)=0.5/cos (0.5x+0.1)-2x;
f ‘(x)<0 при x [0.5; 1],
f‘’(x)=0.5sin(0.5x+0.1)/cos 
(0.5x+0.1)-2;
f ‘’(x) <0 при x [0.5; 1].
Для вычисления применяем формулу (3): x =а,
, где b=1, x =0,5
Вычисления удобно располагать в таблице:
| n | x | f(x ) |  | ||||||||||||||||
|
|
|
x≈0,653.
Второй корень вычисляется по формуле (2) и равен –0,144
Ответ: x ≈0,653, x ≈-0,144.
2. Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0,001:
.
Находим 
D=0.16-6<0.
Составим таблицу знаков функции f(x):
| x |  | -1 |  | ||
| Знаки f(x) | - | - | + | + | + |
Из таблицы видно, что уравнение имеет один действительный корень 
.
Уточним корень методом хорд.
при , 
, 
при
Для вычисления применяем формулу (2):
x =b x =a- , где а=-1, x =0.
| N |  | f( ) | h=  | |||||||||||||
|
|
|
Ответ: x≈-0,946.
Задания
1)Отделить корни графически и уточнить их методом хорд до 0.001:
1. 
2. tg(0.58x+0.1)=x2
3. 
4. tg(0.4x+0.4)=x2
5. lgx-7/(2x-6)=0
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. x lgx - 1.2 = 0
14. 1.8x2 – sin10x = 0
15. ctgx – x / 4 = 0
16. tg(0.3x + 0.4) = x2
17. x – 20sinx = 0
18. ctgx – x / 3 = 0
19. tg(0.47x + 0.2) = x2
20. x2 + 4sinx = 0
21. ctgx – x / 2 = 0
22. 2x – lgx – 7 = 0
23. tg(0.44x + 0.3)=x2
24. 3x – cosx – 1 = 0
25. xsinx-1=0
26. 10cosx-0,1x2=0
27. 2lg(x+7)-5sinx=0
28. 1.2-lnx=4cos2x
2)Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001:
1. x3 – 3x2 + 9x – 8 = 0
2. x3 – 15x + 11 = 0
3. x3 – 3x2 + 6x + 8 = 0
4. x3 – 0.1x2 + 0.4x – 1.5 = 0
5. x3 – 3x2 + 9x +2 = 0
6. x3 + x – 5 = 0
7. x3 + 0.2x2 + 0.5x – 1.2 = 0
8. x3 + 3x +1= 0
9. x3 + 0.2x2 + 0.5x – 2 = 0
10. x3 – 3x2 + 12x – 9 = 0
11. x3 – 0.2x2 + 0.3x – 1.2 = 0
12. x3 – 3x2 + 6x – 2 = 0
13. x3 – 0.1x2 + 0.4x – 1.5 = 0
14. x3 + 3x2 + 6 = 0
15. x3 + 0.1x2 + 0.4x – 1.2 = 0
16. x3 + 4x - 6 = 0
17. x3 + 0.2x2 + 0.5x + 0.8 = 0
18. x3 - 3x2 + 12x - 12 = 0
19. x3 – 0.2x2 + 0.3x + 1.2 = 0
20. x3 - 2x + 4 = 0
21. x3 – 0.2x2 + 0.5x - 1.4 = 0
22. x3 – 0.2x2 + 0.5x – 1 = 0
23. x3 – 0.1x2 + 0.4x + 1.2 = 0
24. x3 – 0.4x2 + 0.6x – 1 = 0
25. 2x3-8x2-30x+1=0
26. 2x3-9x2-60x+1=0
27. x3-6x2+x+10=0
28. x3-4.5x2+x+3=0