Обработка результатов равноточных измерений

Б3.Б.5 Геодезия

Методические указания

к выполнению контрольной работы № 2

для студентов заочного обучения

Для специальности 120700 Землеустройство и кадастры

Уфа 2011

УДК 528

ББК 26.11

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета землеустройства и лесного хозяйства (протокол № 9 от 30.05. 2011 г.)

Составитель: доцент Ишбулатов М.Г., ст. преп. Яковлева Ю.Н.

Рецензент: доцент, к.т.н. Лемешев А.И.

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой кадастра недвижимости и геодезии Ишбулатов М.Г.

1 Общие сведения

Если измеряется одна и та же величина несколько раз или измеряются однородные величины при неизменном основном комплексе условий, т.е. одинаковыми по точности инструментами, лицами одинаковой квалификации, одним и тем же методом и при одинаковых внешних условиях, то результаты измерений называются равноточными.Случайные погрешности результатов равноточных измерений в подавляющем большинстве случаев обладают следующими свойствами:

1. Погрешности по абсолютной величине не превосходят некоторого предела.

2. Положительные и отрицательные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются в ряде примерно одинаково часто.

3. Чем больше погрешность по абсолютной величине, тем она, как правило, реже встречается в ряду.

4. Чем больше ряд измерений, тем меньше, вообще говоря, среднее арифметическое значение из погрешностей и при достаточно большом числе п измерений

Если измерения производятся не в одинаковых условиях и им соответствуют различные дисперсии, а следовательно, и средние квадратические погрешности, то измерения называются неравноточными.

Обработка результатов равноточных измерений

Величина σ является теоретической характеристикой, и ее числовая величина не бывает известна. Поэтому практически пользуются ее приближенным значением – средней квадратической погрешностью (ошибкой), величину которой находят по результатам измерений.

Допустим, что произведено п равноточных измерений и при этом получены случайные погрешности . Средней квадратической погрешностью (ошибкой) в этом случае называют величину, определяемую по формуле 2.1.

(2.1)

по закону больших чисел

Такие эмпирические характеристики, т.е., которые сходятся по вероятности к соответствующим теоретическим характеристикам, называют их состоятельными оценками.

Так как средняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по формуле 2.1, определяет величину σ с некоторой погрешностью и является величиной случайной, то существует формула 2.2 для оценки точности определения самой погрешности т.

(2.2)

Вывод этой формулы довольно сложен и требует больших сведений из теории вероятностей.

Теоретической характеристикой точности служит также предельная погрешность, которая определяется по формуле 2.3.

(2.3)

где τ – коэффициент, значение которого принимается таким, чтобы вероятность появления погрешности по абсолютной величине, больше предельной, была мала, т.е., чтобы была мала величина . Обычно для τ берут значения: 3;2.5;2. Этим значениям соответствует вероятность α : 0,003; 0,012; 0,046.

Эти соотношения между значениями α и τ практически означают следующее: на каждую тысячу измерений число погрешностей, превосходящих по абсолютной величине предельную в среднем приблизительно равно соответственно 3; 12; 46.

Так как точное значение величины σ неизвестно, то вместо σ в формуле 2.3 берут его приближенное значение т, полученное по результатам большого количества измерений.

Пример 1: угол, точное значение которого Х=34º15´48´´, измерен теодолитом Т-30 шесть раз; полученные результаты приведены в таблице 1. Вычислить среднюю квадратическую и предельную погрешности измерения угла.

Таблица 1 Результаты измерений

№ измерения	Результаты измерений
1	34º 15´ 30´´	-18	324
2	15´ 45´´	-3	9
3	16´	+12	144
4	15´ 52´´	+4	16
5	15´ 38´´	-10	100
6	16´ 08´´	+20	400

Средняя квадратическая и предельная погрешности одного измерения будут определяться по формулам 2.2 и2.3.

Если известны средние квадратические погрешности каких-либо величин, то можно по ним определить среднюю квадратическую погрешность любой функции этих величин.

Вид функции Формулы оценки точности

Пример 2: При определении расстояния по дальномеру пользуются формулой 2.6

Считая, что k = 100 и с – безошибочны, а l определено со средней квадратической погрешностью , найти средную квадратическую погрешность расстояния . По формуле 2.6 найдем . Подставив значения k и получим

Пример 3: Стороны прямоугольника а и в измерены с точностью, характеризуемой величинами и . Найти среднюю квадратическую погрешность площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна .

Для оценки точности этой площади применим формулу 2.4, которая для данного случая будет иметь вид Подставив в эту формулу значения частных производных получим .

Наиболее надежным – вероятнейшим значением измеренной величины, полученных по результатам ряда равноточных измерений , является среднее арифметическое значение, которое определяется по формуле 2.8.

= (2.8)

Среднее арифметическое значение называют также арифметической срединой. Для упрощения вычисления арифметической срединой обычно вводят приближенное значение измеряемой величины . Выбрав приближенное значение, вычисляют остатки . Подставив это выражение в формулу 2.8 получим формулу 2.9 значения средней арифметической.

(2.9)

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины М в раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения т и рассчитывается по формуле 2.10.

(2.10)

Пример 3: Из опыта установлено, что средняя квадратическая погрешность угла, измеренного одним приемом теодолитом Т-30, равна Чему равна средняя квадратическая погрешность среднего арифметического из четырех приемов?

Из формулы 2.10 найдем М.

Средняя квадратическая погрешность т, вычисляется по
формуле 2.11

(2.11)

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины находится по формуле 2.12

(2.12)

Средняя квадратическая погрешность одного измерения . определяемая по разностям двойных равноточных измерений определяется по формуле 2.13.

(2.13),

в том случае, когда исключена из разностей систематическая погрешность , то средняя квадратическая погрешность определять по формуле арифметической средины 2.14.

(2.14)