Свойства нормального распределения

Ø Нормальное распределение есть распределение вероятности суммы независимых случайных величин с конечными дисперсиями при неограниченном увеличении числа слагаемых.

С точки зрения процесса измерений нормальное распределение погрешностей есть результат одновременном действия большого числа независимых факторов, каждый из которых незначительно и независимо от других оказывает в влияние на суммарную погрешность измерений.Именно по этому случайная погрешность измерений наиболее часто описываются законом нормального распределения поскольку

В реальности мы всегда имеем дело с ограниченным числом источников погрешностей. Однако, при сложении даже только четырех-пяти случайных величин с различными законами распределения, но с соизмеримыми дисперсиями (т.е. со сравнимыми величинами погрешностей), мы приходим к закону распределения погрешностей, близкому к нормальному. Особенно, если плотность вероятности достаточно велика

Функция распределения вероятности p(d) определяет вероятность того, что величина случайной погрешности окажется равной заданной. Нормальное распределение плотности вероятности p(d) центрированной случайной погрешности dописывается функцией Гаусса:

…10

где: d - величина случайной погрешности, s - среднеквадратическое отклонение измеряемой величины от истинной.

Из (10) следует:

1). Площадь, ограниченная графиком и осью абсцисс, всегда остается неизменной и равной 1 при любых значениях s, что соответствует тому, что вероятность появления ошибки, отличной от нуля равна р(d¹0)=1:

…11

2). Вероятность того, что величина случайной погрешности окажется в интервале от d=-a до d=+а, определяется соотношением:

…12

Если выразить величину интервала в единицах s, т.е. принять a = ts, где t – безразмерный коэффициент, и таким образом связать величину ожидаемой погрешности |d|×=a со среднеквадратичным отклоне­нием, то интеграл (12) можно преобразовать к виду, который определяет вероятность нахождения величины погрешности в интервале d=±t и называется интегралом ошибок:

(13)

Значения интеграла ошибок Ф(t) заранее вычислены, затабулированы и широко используются в практических расчетах. С его помощью при нормальном законе распределения можно вычислить вероятность того, что величина случайной погрешности лежит в некотором заданном интервале значений.

В частности:

· P(-3s<d3s)=2Ф(3)=0,9972 - случайная составляющая погрешности измерения с вероятностью 0,9972 не выходит за пределы интервала ±3s

· P(-2,67s<d<2,6s)=2Ф(2,6)=0,99 - случайная составляющая погрешности измерения с вероят­ностью 0,99 лежит в пределах ±2,6s

· P(-2s<d<2s)=2Ф(2)=0,95 - случайная составляющая погрешности измерения с вероят­ностью 0,95 лежит в пределах интервала ±2s.

· Р(-(-s<d<s)=2Ф(1)=0,68 - вероятность того, что величина погрешности не превышает своего среднеквадратического значения составляет 0,68

Когда число отдельных изме­рений достаточно велико, N ³ 30, то с высокой степенью точности можно считать среднеарифметическое значение измеряемой величины равным среднему, принимаемому за ее действительное значение. При этом среднеквадратическое отклонение отдельного измерения s₀ равно среднеквадратическому отклонению многократного измерения s_А и соответствующему параметру закона нормального распределения s.

;

Вероятная погрешность.

Величина вероятной погрешности определяет интервал значений случайной погрешности - доверительный интервал, которые эта погрешность может принимать с доверительной вероятностью равной 0,5 .

Ø Вероятной погрешностью называют такую величину погрешности, относительно которой при повторных измерениях 50% случайных погрешностей будет по абсолютной величине больше вероятной погрешности, а другие 50% - меньше ее.

При нормальном законе распределения вероятная погрешность результата измерений, т.е. погрешность определения среднеарифметического значения, будет равна

(14)

Правило 3s

При N> 30 принято отбрасывать результаты отдельных измерений, от­личающихся от среднеарифметического более, чем на 3s, для которых | А-а_i| >3s, поскольку вероятность их появления составляет менее 0,003.

Ø При нормальном законе распределения за максимальную величину случайной составляющей погрешности принимают ее значении, равное трем значениям среднеквадратичной погрешности d_max=3s.

Ø Погрешности более, чем второе превосходящие среднеквадратичное значение считаются грубыми и исключаются из дальнейшего рассмотрения.

Распределение Стьюдента.

На практике количество измерений достаточно ограничено и для опре­деления доверительного интервала при нормальном распределении резуль­тата отдельного измерения вместо интеграла ошибок используют закон рас­пределение ошибок Стьюдента и соответствующий интеграл, значения кото­рого тоже табулированы в виде коэффициентов Стьюдента t_N, Эти коэффи­циенты зависят от задаваемой доверительной вероятности Р и количества измерений N (Таблица 1). Для определения доверительного интервала среднеквадратическая погрешность s_А умножается на коэффициент Стью­дента, взятый из соответствующей таблицы, и границы доверительного ин­тервала записываются в виде:

(15)

Понятие о доверительном интервале используется для выявления грубых ошибок. Если результат отдельного измерения выходит за пределы до­верительных границ, то это нарушение статистической закономерности с принятой доверительной вероятностью можно рассматривать как проявление грубой погрешности. Такой результат должен быть отброшен и все расчеты проведены заново.

Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента

Коэффициенты Стьюдента
n	Значения Р
0.6	0.8	0.95	0.99	0.999
	1.376	3.078	12.706	63.657	636.61
	1.061	1.886	4.303	9.925	31.598
	0.978	1.638	3.182	5.841	12.941
	0.941	1.533	2.776	4.604	8.610
	0.920	1.476	2.571	4.032	6.859
	0.906	1.440	2.447	3.707	5.959
	0.896	1.415	2.365	3.499	5.405
	0.889	1.397	2.306	3.355	5.041
	0.883	1.383	2.262	3.250	4.781
	0.879	1.372	2.228	3.169	4.587
	0.876	1.363	2.201	3.106	4.437
	0.873	1.356	2.179	3.055	4.318
	0.870	1.350	2.160	3.012	4.221
	0.868	1.345	2.145	2.977	4.140
	0.866	1.341	2.131	2.947	4.073
	0.865	1.337	2.120	2.921	4.015
	0.863	1.333	2.110	2.898	3.965
	0.862	1.330	2.101	2.878	3.922
	0.861	1.328	2.093	2.861	3.883
	0.860	1.325	2.086	2.845	3.850
	0.859	1.323	2.080	2.831	3.819
	0.858	1.321	2.074	2.819	3.792
	0.858	1.319	2.069	2.807	3.767
	0.857	1.318	2.064	2.797	3.745
	0.856	1.316	2.060	2.787	3.725
	0.856	1.315	2.056	2.779	3.707
	0.855	1.314	2.052	2.771	3.690
	0.855	1.313	2.048	2.763	3.674
	0.854	1.311	2.045	2.756	3.659
	0.854	1.310	2.042	2.750	3.646
	0.851	1.303	2.021	2.704	3.551
	0.848	1.296	2.000	2.660	3.460
	0.845	1.289	1.980	2.617	3.373
∞	0.842	1.282	1.960	2.576	3.291

Пример:

С помощью стрелочного вольтметра измерялось напряжение в электрической сети. Измерения выполнялись 8 раз, их результаты приведены в таблице 1

№ пп.
Измеренное значение, В
Погрешность отдельного измерения, В	+2	+4	-10	-8	+15	+3	-1	-5

Среднеарифметическое значение измеренного напряжения, которое мы принимаем за его действительное значение, равно 224 В. Тогда можно вы­числить погрешности отдельных измерений и рассчитать среднеквадратическое отклонение:

Определим интервал, в котором измеряемого напряжения находится с доверительной вероятностью 99%. Для этого по таблице коэффициентов рас­пределения Стъюдента для доверительной вероятности Р=0,99 и N=8 находим t_n = 3,5. Отсюда согласно формуле (1.11) находим величину напряже­ния: U=224 В ± 3 ´ 3,5 В= (224±10,5) В = (224±11) В. Здесь мы учли, что данные измерений известны с точностью 1 В, поэтому все вычисляемые значения также округляются до 1 В.

Полученная оценка показывает, что погрешность одного из измерений (№ 5) не укладывается в установленный доверительный интервал, т.е. содер­жит грубую погрешность. Это значение должно быть исключено, а проце­дура определения погрешности проведена заново, но при количестве измере­ний N=7. В результате мы получим, что с вероятностью 0,99 действительное значение напряжения лежит в пределах (221±8) В.