Графический смысл предела функции в точке

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

5.1. Предел функции в точке

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , т.е. Определение 5.1. Число называется пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство .

Данное определение предела иногда называют определением пределом функции по Коши или определением на языке . Его кратко записывают следующий образом:

Графический смысл предела функции в точке

Неравенство для всех точек , удовлетворяющих условию , эквивалентное неравенствам , справедливое для всех точек , таких, что: . Получили: , если для любого существует такая – окрестность точки : , за исключением, может быть самой точки : , что для всех из – окрестности точки , соответствующие значения функции попадают в – окрестности точки : .

Иными словами: число является пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что все точки графика функции лежат на плоскости в прямоугольнике .

Предел функции по Гейне

Другое определение предела функции в точке может быть высказано в терминах пределов последовательностей.

Определение 5.2 (предела функции по Гейне). Число называется пределом функции при , стремящемся к , если она определена на некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и если какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке такая, что для всех натуральных , соответствующая последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как .

Здесь считается, что последовательность пробегает значения, для которых определена функциональная последовательность значений функции .

Отсюда следует, в частности, что для любого существует такое , что для любой последовательности , сходящейся к , точки с координатами находятся на плоскости внутри прямоугольника, ограниченного прямыми: с боков и снизу и сверху

Теорема 5.1.Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.

Доказательство.

Пусть функция имеет предел при в смысле определения Коши, и переменная . Зададим любое как угодно малое положительное число , и подберем такое положительное число , что все точки произвольной последовательности , лежащие в области определения функции , начиная с некоторого номера , удовлетворяли неравенству: . Но тогда для всех . А это означает, что последовательность чисел стремится к . Но т.к. это свойство верно для любой сходящейся к последовательности , лишь бы и все точки последовательности принадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения (5.1) предела следует второе (5.2).

Наоборот, пусть функция имеет предел в смысле второго определения (5.2). Допустим, противное: что функция не имеет предела в смысле первого определения (5.1). Это значит, что существует хотя бы одно положительное число , которое мы обозначим через , для которого нельзя подобрать такое положительное число , фигурирующее в определении 5.1. Таким образом, для любого положительное число , среди , удовлетворяющих соотношениям , должно найтись хотя бы одно такое, что для него .

В качестве возьмем все числа вида , где . Для каждого числа найдется такая точка ( ), для которой , но в то же время ( ).

Из этих соотношений видно, что нашлась такая последовательность , которая сходится к точке ( ), но в то же время последовательность не стремится к числу . Таким образом, предположение, что из второго определения предела (5.2) не следует первое (5.1) , привело к противоречию. Эквивалентность двух определений доказана.

5.4. Предел функции на бесконечности

Определение 5.3.Число называется пределом функции при , стремящимся к бесконечности, если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , следует, что .

Краткая запись: .

Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему определению.

Определение 5.4.Число является пределом функции при , стремящимся к бесконечности, если функция определена для всех , удовлетворяющих условию, что при некотором положительном числе , для любой сходящейся к бесконечности последовательности последовательность значений функции существует и сходится к числу .

Бесконечно большие функции

Определение 5.9. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.

Определение 5.10. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

То, что функция является бесконечно большой в точке , соответствует тому, что . Кратко это записывают так: .

5.8. Свойства функций, имеющих пределы

Теорема 5.2.Если существует конечный предел , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция является ограниченной, т.е. существуют такие положительные числа и , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует, что .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Возьмем . И раскроем последнее неравенство по свойству модуля: .

Или . Отсюда следует, что . Если взять , то получим, что , что и требовалось. Теорема доказана.

Теорема 5.3.Если существует конечный предел , и , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция удовлетворяет условию: . Более того, для указанных функция , если , и , если .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого ( в частности, возьмем ) найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Раскроем последнее неравенство: , которое выполняется для всех окрестности точки . Получили . Или для указанных . При следует, что и . При следует, что для всех окрестности точки . Тогда, раскрывая модуль в неравенстве , получаем или , что и требовалось доказать.

Теорема 5.4. Еслисуществуют конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функции и удовлетворяют неравенству , то .

Доказательство. Пусть последовательность сходится к . Тогда для существует достаточно большой номер , что при всех следует:

, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем: , что и требовалось.

Утверждение 5.1.

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем каждая из них. Верно и обратное утверждение.

Утверждение 5.2.

Сумма конечного числабесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Определение 5.14.Слагаемое, которое эквивалентно сумме бесконечно малых функций, называется главной частью указанной суммы.

Замена суммы бесконечно малых функций ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Теорема 5.7. Пусть при . Тогда .

Доказательство теоремы следует из соотношения .

Теорема 5.8.При вычислении пределов отношения двух бесконечно малых функций бесконечно малые функции можно заменять на эквивалентные. Значение предела при этом не изменится.

Пусть при и существует предел .

Если , то

.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

5.1. Предел функции в точке

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , т.е. Определение 5.1. Число называется пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство .

Данное определение предела иногда называют определением пределом функции по Коши или определением на языке . Его кратко записывают следующий образом:

Графический смысл предела функции в точке

Неравенство для всех точек , удовлетворяющих условию , эквивалентное неравенствам , справедливое для всех точек , таких, что: . Получили: , если для любого существует такая – окрестность точки : , за исключением, может быть самой точки : , что для всех из – окрестности точки , соответствующие значения функции попадают в – окрестности точки : .

Иными словами: число является пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что все точки графика функции лежат на плоскости в прямоугольнике .

Предел функции по Гейне

Другое определение предела функции в точке может быть высказано в терминах пределов последовательностей.

Определение 5.2 (предела функции по Гейне). Число называется пределом функции при , стремящемся к , если она определена на некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и если какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке такая, что для всех натуральных , соответствующая последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как .

Здесь считается, что последовательность пробегает значения, для которых определена функциональная последовательность значений функции .

Отсюда следует, в частности, что для любого существует такое , что для любой последовательности , сходящейся к , точки с координатами находятся на плоскости внутри прямоугольника, ограниченного прямыми: с боков и снизу и сверху

Теорема 5.1.Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.

Доказательство.

Пусть функция имеет предел при в смысле определения Коши, и переменная . Зададим любое как угодно малое положительное число , и подберем такое положительное число , что все точки произвольной последовательности , лежащие в области определения функции , начиная с некоторого номера , удовлетворяли неравенству: . Но тогда для всех . А это означает, что последовательность чисел стремится к . Но т.к. это свойство верно для любой сходящейся к последовательности , лишь бы и все точки последовательности принадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения (5.1) предела следует второе (5.2).

Наоборот, пусть функция имеет предел в смысле второго определения (5.2). Допустим, противное: что функция не имеет предела в смысле первого определения (5.1). Это значит, что существует хотя бы одно положительное число , которое мы обозначим через , для которого нельзя подобрать такое положительное число , фигурирующее в определении 5.1. Таким образом, для любого положительное число , среди , удовлетворяющих соотношениям , должно найтись хотя бы одно такое, что для него .

В качестве возьмем все числа вида , где . Для каждого числа найдется такая точка ( ), для которой , но в то же время ( ).

Из этих соотношений видно, что нашлась такая последовательность , которая сходится к точке ( ), но в то же время последовательность не стремится к числу . Таким образом, предположение, что из второго определения предела (5.2) не следует первое (5.1) , привело к противоречию. Эквивалентность двух определений доказана.

5.4. Предел функции на бесконечности

Определение 5.3.Число называется пределом функции при , стремящимся к бесконечности, если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , следует, что .

Краткая запись: .

Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему определению.

Определение 5.4.Число является пределом функции при , стремящимся к бесконечности, если функция определена для всех , удовлетворяющих условию, что при некотором положительном числе , для любой сходящейся к бесконечности последовательности последовательность значений функции существует и сходится к числу .