Задания для самостоятельного решения. 1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне докажите

I уровень

1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне докажите, что:

1) 2)

3) 4) .

1.2. Найдите предел функции в точке:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

II уровень

2.1. Найдите предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

2.2. Определите, является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой при , если

1)

2)

3) .

Ш уровень

3.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне, докажите, что предел не существует:

1) 2)

3)

3.2. Вычислите пределы функций в точке.

1)

2)

3.3. Вычислите пределы при всех возможных значениях и .

1) ; 2) .

3.4. Вычислите

Первый и второй замечательные пределы

При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

(9)

Если при , то верна более общая формула первого замечательного предала:

(10)

Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .

Второй замечательный предел:

(11)

или

(12)

Если при , то обобщением формулы (11) является формула:

(13)

Если , то обобщением формулы (12) является:

(14)

Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .

Для того чтобы использовать, например, формулу (13), необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять условий (акцентируем их подчёркиванием):

1) 2)

3) 4)

5) , при .

Эти условия достигаются тождественным преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.

Пример 1. Вычислить предел функции:

1) 2)

3) 4)

Решение.1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

.

Последний предел, согласно формуле (9), равен 1.

Так как при выражение также стремится к нулю, то, умножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечательный предел, получим:

Следовательно .

2. При непосредственном вычислении предела получаем неопределённость вида

Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на и преобразуем его к виду, когда можно использовать первый замечательный предел (формула (10)):

3. Выделим целую часть в основании степени:

Так как при исходное выражение представляет собой неопределенность типа , то, используя второй замечательный предел (формула (13)), имеем:

4. В данном случае получаем неопределённость вида . Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел (формула (14)). Получим:

Для вычисления применим первый замечательный предел:

Таким образом, получаем ответ:

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) .

1.2. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8) .

II уровень

2.1. Найдите предел функции:

1) 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

2.2. Найдите предел функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

8)

9)

10) .

Ш уровень

3.1. Найдите предел функции, сделав соответствующую замену переменной:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8) .

3.2. Вычислите пределы функций с помощью второго замечательного предела:

1) 2)

3) 4)