При найденном значении C2 , уравнение (11) дает

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методическое пособие для студентов

заочной формы обучения

Направления (специальности):

150300 Автоматизация и управление (210100 Управление и информатика в технических системах – АТ);

551300 Электротехника, электромеханика и электротехнология (180300 Электроизоляционная, кабельная и конденсаторная техника - КТЭИ; 180400 Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов - АЭП);

650900 Электроэнергетика (100400 Электроснабжение - ЭС);

Пермь 2014

Составили Р.М. Подгаец, А.А. Селянинов.

УДК 528.1

Теоретическая механика. Методическое обеспечение дисциплины для студентов заочной формы обучения. Направления (специальности): 150300 Автоматизация и управление (210100 Управление и информатика в технических системах); 551300 Электротехника, электромеханика и электротехнология (180300 Электроизоляционная, кабельная и конденсаторная техника; 180400 Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов); 650900 Электроэнергетика (100400 Электроснабжение) / Сост. Р.М. Подгаец, А.А. Селянинов. Перм. гос. техн. ун-т., Пермь. 2014, 48 с.

Приведены методические материалы для самостоятельного изучения курса "Теоретическая механика" студентами заочной формы обучения: программа и методические указания изучения теоретического материала, контрольные задания с методическими указаниями их выполнения и примерами решения типовых задач, методические указания по практическим занятиям, контрольные вопросы, основная и дополнительная учебная литература.

Табл. 12. Ил. 110 . Библиогр.: 10 назв.

Рецензент д-р.физ.-мат0. наук Ю.В. Акулич

© Пермский государственный

технический университет,2014

1.ВВЕДЕНИЕ

Основной формой изучения дисциплины является самостоятельная работа студента, включающая изучение рекомендованной учебной литературы, практические занятия по решению задач и выполнение контрольных заданий. Распределение объемов занятий и видов учебной работы по семестрам дано в табл. 1.

Выписка из учебного плана Таблица 1

Специальность	Семестр	Занятия, час.	Число контр. работ	Контроль
Лекции	Практи- ческие	Самост. работа
АТ						Зачет
АТ-у						Зачет
КТЭИ						Экзамен
КТЭИ-у						Зачет
АЭП						Зачет
АЭП-у						Зачет
ЭС						Зачет
ЭС-у						Зачет

Список учебной литературы

Литература основная

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 2001, 416с.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990, 607с.

3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Ч.I,II. - М.: Высшая школа, 1984, 424с/488с.

4. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Физматгиз, 1985, 448с.

5. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1, 2. М.: Наука, 1990.

Литература дополнительная

1. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики. Ч.II. - М.: Высшая школа, 1971, 543с.

2. Старжинский В.М. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1980, 464с.

3. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. - М.: Высшая школа, 1966, 248с.

4. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. - М.: Наука, 1991, 264с.

5. Веселовский И.Н. Очерки по истории теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1974, 287с.

При составлении разделов 3 и 5 использованы материалы работы Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведеиий/Л. И. Котова, Р. И. Надеева, С. М. Тарг и др.; Под ред. С. М. Тарга — 4-е изд. — М.: Высш. шк., 1989.— 111 с.: ил.

2. ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

(Соответствует Стандартам специальностей 2001г., страницы изучаемых разделов указаны по основному учебнику: Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.; Высшая школа, 2001)

1. Введение в курс теоретической механики. Механическое движение как одна из форм движения материи. Теоретическая механика и ее место среди естественных и технических наук. Объективный характер законов механики. Границы применимости классической механики. Роль советских и русских ученых в развитии механики. Значение курса теоретической механики для специальности. Кинематика. Предмет кинематики. Кинематика точки. Векторный способ задания движения точки. Траектория. Понятие скорости и ускорения точки. Координатный способ задания движения точки. Нахождение траектории. Определение скорости и ускорения. Естественный способ задания движения точки. Уравнение движения точки по заданной траектории. Численное значение скорости. Касательное и нормальное ускорения. (Стр. 5-8, 95-116).

2. Понятие об абсолютно твердом теле. Простейшие движения твердого тела. Поступательное движение. Теорема о свойствах поступательного движения. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Равномерное и равнопеременное вращения. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Угловая скорость тела как вектор. Скорость и ускорение точки вращающегося тела в виде векторных произведений. (Стр. 117-126).

3. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнения движения плоской фигуры. Независимость угловой скорости плоской фигуры от выбора полюса. Определение скорости точки плоской фигуры методом полюса. Теорема о проекциях скоростей. Мгновенный центр скоростей. Свойства мгновенного центра скоростей. Особые случаи отыскания мгновенного центра скоростей. Определение ускорения точки плоской фигуры методом полюса. (Стр. 127-145).

4. Составное движение точки. Абсолютное и относительное движение точки. Переносное движение. Теорема сложения скоростей. Теорема сложения ускорений. Численное значение и направление ускорения Кориолиса. Физический смысл ускорения Кориолиса. (Стр. 155-168).

5. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, или сферическое движение. Углы Эйлера. Мгновенная ось вращения. Теорема Эйлера-Даламбера. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Определение скоростей и ускорений точек тела, совершающего сферическое движение. Общий случай движения свободного твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек свободного твердого тела. Сложное движение твердого тела. Сложение вращений вокруг параллельных и пересекающихся осей. (Стр. 147-155, 169-176).

6. Динамика и элементы статики. Предмет динамики и статики. Связи и реакции связей. Проекция силы на ось и на плоскость. Момент силы относительно точки как алгебраическая величина и как вектор. Момент силы относительно оси, его связь с моментом силы относительно точки. Аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей. Пара сил. Момент пары как алгебраическая величина и как вектор. (Стр. 9-36).

7. Система сил. Главный вектор и главный момент системы сил. Аналитические условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи равновесия систем сил: системы сходящихся и параллельных сил. Равновесие плоской системы сил. Различные виды уравнений равновесия. Центр параллельных сил. Центр тяжести твердого тела и его координаты. Статически определимые и статически неопределимые задачи. Равновесие системы тел. (Стр. 37-86).

8. Динамика материальной точки. Законы механики Галилея-Ньютона. Понятие массы. Инерциальная система отсчета. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах. Естественные уравнения движения материальной точки. Задачи динамики. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки в частных случаях. (Стр. 180-200).

9. Свободные прямолинейные колебания материальной точки. Относительное движение материальной точки. Переносная и кориолисова силы инерции. Случай относительного покоя. Принцип относительности классической механики. (Стр. 223-231).

10. Механическая система. Масса системы. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Центр масс системы. Внешние и внутренние силы. Свойства внутренних сил. Момент инерции системы относительно оси. Радиус инерции. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей. Примеры вычисления моментов инерции тел в простейших случаях. (Стр. 263-271).

11. Количество движения материальной точки и механической системы. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и системы материальных точек. Теорема о движении центра масс системы. Условия сохранения скорости движения центра масс системы. (Стр. 201-204, 273-290).

12. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси. Кинетический момент системы относительно центра и оси. Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения. Теоремы об изменении момента количества движения точки и кинетического момента системы относительно центра и оси. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела. (Стр. 201-204, 273-290).

13. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Формулы для кинетической энергии тела в простейших случаях движения. Теорема Кенига. Элементарная работа силы. Аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном пути. Мощность. Работа силы тяжести и силы упругости. Работа внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность силы, приложенной к вращающемуся телу. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и системы материальных точек в дифференциальной и конечной формах. (Стр. 208-219, 301-314).

14. Принцип Даламбера для материальной точки. Сила инерции материальной точки. Принцип Даламбера для системы. Главный вектор и главный момент сил инерции. Момент инерции тела относительно произвольной оси. Центробежные моменты инерции. Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты инерции. Свойства главных осей инерции. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравновешивание сил инерции. (Стр. 271-273, 344-356).

15. Связи и их уравнения. Классификация связей. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Применение принципа возможных перемещений к простейшим машинам и к определению реакций связей. Общее уравнение динамики. (Стр. 357-369).

16. Обобщенные координаты системы. Обобщенные силы и способы их вычисления. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, или уравнения Лагранжа второго рода. Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия. Примеры потенциальных силовых полей. Закон сохранения механической энергии. Условия равновесия и уравнения Лагранжа для системы, находящейся в потенциальном силовом поле. Понятие об устойчивости равновесия. (Стр.317-323, 369-386).

17. Принцип Гамильтона-Остроградского.

18. Малые колебания механической системы. Кинетическая и потенциальная энергия системы при ее малых отклонениях от положения равновесия. Критерий устойчивости равновесия. Малые свободные колебания механической системы с двумя (или n) степенями свободы и их свойства, собственные частоты и коэффициенты формы. (Стр. 387-396).

19. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки Элементарная теория гироскопа. Кинетический момент твердого тела с одной неподвижной точкой. Теорема Резаля. Приближенная теория гироскопов. Свободный гироскоп. Действие силы на ось свободного гироскопа. Регулярная прецессия гироскопа. Гироскопический момент. (Стр. 334-344).

20. Явление удара. Общие теоремы теории удара. Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе. Коэффициент восстановления при ударе. Удар тела о неподвижную преграду. Прямой центральный удар двух тел. Потеря кинетической энергии при неупругом ударе. Удар по вращающемуся телу. Центр удара. (Стр. 396-408).

3.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Теоретическая механика как одна из важнейших физико-математических дисциплин играет существенную роль в подготовке инженеров любых специальностей. На основных законах и принципах теоретической механики базируются многие общеинженерные дисциплины, такие, как сопротивление материалов, строительная механика, гидравлика, теория механизмов и машин, детали машин и др. В различных курсах по машиностроительным, механическим, строительным, приборостроительным и многим другим специальностям также широко используются положения теоретической механики. На основе теорем и принципов теоретической механики решаются многие инженерные задачи и осуществляется проектирование новых машин, конструкций и сооружений. Хорошее усвоение курса теоретической механики требует не только глубокого изучения теории, но и приобретения твердых навыков в решении задач. Для этого необходимо самостоятельно решить большое количество задач по всем разделам.

В курсе теоретической механики студенты изучают три ее раздела: статику, кинематику и динамику (включая элементы аналитической механики и теории колебаний).

Для изучения курса необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Во всех разделах курса, начиная со статики, широко используется векторная алгебра. Необходимо уметь вычислять проекции векторов на координатные оси, находить геометрически (построением векторного треугольника или многоугольника) и аналитически (по проекциям на координатные оси) сумму векторов, вычислять скалярное и векторное произведения двух векторов и знать свойства этих произведений, а в кинематике и динамике - дифференцировать векторы. Надо также уметь свободно пользоваться системой прямоугольных декартовых координат на плоскости и в пространстве, знать, что такое единичные векторы (орты) этих осей и как выражаются составляющие вектора по координатным осям с помощью ортов.

Для изучения кинематики надо совершенно свободно уметь дифференцировать функции одного переменного, строить графики этих функций, быть знакомым с понятиями о естественном трехграннике, кривизне кривой и радиусе кривизны, знать основы теории кривых 2-го порядка, изучаемой в аналитической геометрии.

Для изучения динамики надо уметь находить интегралы (неопределенные и определенные) от простейших функций, вычислять частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных, а также уметь интегрировать дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка (однородные и неоднородные) с постоянными коэффициентами.

При изучении материала курса следует придерживаться следующих этапов:

1. Читая раздел учебника, надо прежде всего уяснить существо каждого излагаемого там вопроса. Главное - это понять изложенное в учебнике, ане "заучить". Изучать материал рекомендуется по темам (пунктам приведенной выше программы со ссылками на страницы основного учебника) или по главам (параграфам) других указанных учебников. Сначала следует прочитать весь материал темы (параграфа), особенно не задерживаясь на том, что показалось не совсем понятным: часто это становится понятным из последующего. Затем надо вернуться к местам, вызвавшим затруднения и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание при повторном чтении обратите на формулировки соответствующих определений, теорем и т.п. (они обычно бывают набраны в учебнике курсивом или разрядкой); в точных формулировках, как правило, существенно каждое слово и очень полезно понять, почему данное положение сформулировано именно так. Однако не следует стараться заучивать формулировки; важно понять их смысл и уметь изложить результат своими словами. Необходимо также понять ход всех доказательств (в механике они обычно не сложны) и разобраться в их деталях. Доказательства надо уметь воспроизводить самостоятельно, что нетрудно сделать, поняв идею доказательства; пытаться просто их "заучивать" не следует, никакой пользы это не принесет. Закончив изучение темы, полезно составить краткий конспект, по возможности не заглядывая в учебник;

2. При изучении курса особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Для этого, изучив материал данной темы, надо сначала обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, которые приводятся в учебнике, обратив особое внимание на методическиеуказания поих решению.Затем постарайтесь решить самостоятельно в качестве практических занятий несколько аналогичных задач из сборника задач И. В. Мещерского [4] (рекомендуемый список задач по темам и методические указания их решения приведены в разделе 4).

3. После приобретения практических навыков решите соответствующую задачу из контрольной работы (раздел 5).

4. Закончив изучение темы, нужно проверить, можете ли вы дать ответ на все вопросы программы курса по этой теме (осуществить самопроверку). Перечень вопросов для самопроверки приводится в разделе 6.

5. Следует иметь в виду, что в различных учебникахматериал может излагаться в разной последовательности. Поэтому ответна какой-нибудь вопрос программы может оказаться в другой главеучебника,но наизучении курса в целом это, конечно, никак не скажется. Указания по выполнению контрольных работ приводятся ниже. Их надо прочитать обязательно и ими руководствоваться. Кроме того, к каждой задаче даются конкретные методические указания по ее решению и приводится пример решения.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

Для самостоятельного приобретения умения решения задач, что является обязательной частью образования инженера, необходимо решить задачи из сборника задач И. В. Мещерского [4] и задачи из контрольных работ раздела 5. Темы занятий и соответствующие им номера задач приведены в Табл. 2. Задачи из сборника задач И. В. Мещерского [4] имеют двойную цифровую нумерацию (например, 2.17, где 2-номер параграфа, 17- номер задачи в этом параграфе). В номерах задач из контрольных работ содержится буква (например, С1 обозначает: задача 1 радела Статика).

Задачи для практических занятий Таблица 2

Номер темы	Тема занятия (объем в часах)	Номера задач
	Равновесие плоской системы сил (6)	4.7, 4.15, 4.33, С1, С2
	Равновесие пространственной системы сил (4)	8.16, 8.29, С3
	Кинематика точки (4)	12.13, 12.22, К1
	Вращательное движение тела (4)	13.15, 14.10, К2
	Плоскопараллельное движение тела (8)	15.3, 16.11, 16.29, 18.11, 18.28, К3
	Сложное движение точки (8)	22.11, 22.17, 23.4, 23.9, К4
	Динамика материальной точки (6)	26.10, 26.13, 26.24, 27.5, 27,16, 27.29, Д1
	Теорема о движении центра масс механической системы (4)	35.10, 35.16, 35,21
	Теорема об изменении количества движения механической системы (2)	36.9, 36.10
	Теорема об изменении момента количества движения механической системы(4)	37.5, 37.7, 37.43, Д2
	Теорема об изменении кинетической энергии механической системы(5)	38.11, 38.24, 38.31, Д3
	Принцип Даламбера (4)	41.10, 41.17, 41.21, Д4
	Уравнения Лагранжа 2-го рода (5)	48.7, 48.35, Д5
	Принцип возможных перемещений	Д6

При выполнении практических занятий целесообразно придерживаться общих методических рекомендаций, излагаемых ниже для каждой темы. Подробное применение этих рекомендаций разобрано в примерах к задачам контрольных заданий, приведенных в разделе 5.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ,

ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ

В соответствии с Табл. 1 выполняется одна контрольная работа, включающая задачи С1, С2, С3, К1, К2, КЗ, К4, Д1, Д2, ДЗ, Д4, Д5, Д6.

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С1.4 - это рис. 4 к задаче С1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4 и т.д.). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берет рис. 4 и условия № 6 из таблицы.

Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия, имя и отчество (полностью) студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес, если работа высылается по почте. На первой странице тетради записываются: номер работы и номера решаемых задач.

Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй, иначе работу трудно проверять). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач чертеж получится более простой, чем общий.

Чертеж должен бытьаккуратным и наглядным, а его размеры должны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; необходимо обязательное изображение на чертеже всех вычисляемых векторов и координатных осей, а также указание единиц получаемых размерных величин. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т.п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут и будут возвращаться для переделки.

К работе, подаваемой на повторную проверку (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться не зачтенная работа. На экзамене необходимо представить зачтенные по данному разделу курса работы, в которых все отмеченные рецензентом погрешности должны быть исправлены.

При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. На рисунках к задачам С1, С2 и Д1 – Д4 все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам - вертикальными и это в тексте задач специально не оговаривается. Также без оговорок считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми, нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят, катки и колеса (в кинематике и динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано других оговорок, считаются идеальными.

Когда тела на рисунке пронумерованы, то в тексте задачи и в таблице Р₁, l₁, r₁ и т.п. означают вес или размеры тела 1, P₂, l₂, r₂ - тела 2 и т.д. Аналогично в кинематике и динамике обозначают скорость и ускорение точки В, - точки С; - угловую скорость и угловое ускорение тела 1, - тела 2 и т.д. В каждой задаче подобные обозначения могут тоже специально не оговариваться.

Следует также иметь в виду, что некоторыеиз заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи. Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к вашему варианту, т.е. к номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой "Указания"; затем дается пример решения аналогичной задачи, Цель примера - разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

СТАТИКА

В задачах статики рассматривается равновесие тела под действием различных систем сил. Это позволяет привести общие для всех задач сведения справочного характера и сформулировать алгоритм методики подхода к задаче, пояснений в задаче и решения.

ВИДЫ СВЯЗЕЙ

Связь – тело, препятствующее перемещению данного объекта (тела, узла) в пространстве.

Реакция связи – сила, с которой связь действует на объект.

Вид связи	Направление реакции связи
Гладкая поверхность, на которую объект опирается в точке.	Реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности опоры (если опора представляет собой острие, угол, линию, то реакция направлена по нормали к поверхности объекта)
Острие, угол, линия (гладкие)	Реакция направлена по нормали к поверхности объекта
Гибкая связь (трос, цепь, нить).	Реакция гибкой связи направлена вдоль связи от объекта (нить растянута)
Цилиндрический шарнир и подшипник	Реакция цилиндрического шарнира расположена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, направление в плоскости не определено, указываем составляющие реакции.
Катки (подвижный шарнир) без трения	Реакция связи направлена по нормали к поверхности опоры катков.
Невесомый стержень, концы которого закреплены шарнирами.	Реакция связи направлена вдоль прямой, проходящей через концы стержня. Указываем от объекта, предполагая, что стержень растянут; минус в ответе означает, что стержень сжат.
Подшипник и сферический шарнир	Направление реакции не определено в пространстве, указываем три составляющие.
В плоскости В пространстве Заделка объекта в другое тело.	В случае плоской системы сил на объект действует сила, направление которой в плоскости действия сил не определено, и пара сил в этой плоскости. В случае пространственной системы сил на объект действует сила, направление которой в пространстве не, и пара сил, направление вектора момента которой в пространстве не определено.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

	Сила, действующая на твердое тело – скользящий вектор
	Проекция силы на ось
	Проекция силы на плоскость
	Момент силы относительно центра (точки) Знак соответствует повороту тела вокруг центра А против хода часовой стрелки; h – перпендикуляр, опущенный из центра А на линию действия силы (плечо силы)
	Момент силы относительно оси , – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси; А – точка пересечения оси с этой же плоскостью; h – плечо силы
	Пара сил – две равные антипараллельные силы:
	Действие пары сил полностью характеризуется вектором-моментом пары. Момент пары сил, действующей на твердое тело – свободный вектор. – плечо пары сил (перпендикуляр, опущенный из точки приложения силы на линию действия другой силы)

ВИДЫ СИСТЕМ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО,

И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Произвольная пространственная система сил – линии действия сил расположены в пространстве	Векторная форма: Координатная форма (аналитическая):
Система сходящихся сил – линии действия сил пересекаются в одной точке	Векторная форма: Координатная форма: ; ;
Пространственная система параллельных сил – линии действия сил в пространстве параллельны	Векторная форма: Координатная форма (ось параллельна линиям действия сил): ; ;
Произвольная плоская система сил – линии действия сил расположены в одной плоскости произвольно	Векторная форма: Координатная форма: 1-я форма (точка А – произвольная точка в плоскости): ; ; 2-я форма (точки А, В, С не лежат на одной прямой): ; ; 3-я форма (Ось ОХ не перпендикулярна прямой АВ): ; ;
O F4 F5 F3 F2 F1 y x Плоская система параллельных сил – линии действия сил параллельны друг другу и расположены в одной плоскости	Векторная форма: Координатная форма (ось Х параллельна линиям действия сил): ;

Все задачи статики (С1, С2, С3) относятся к теме о равновесии тела под действием различных систем сил. Это позволило сформулировать общий алгоритм методики подхода к задачам, пояснений к задачам и их решений.

Задача С1 потребует намного больше времени, так как последующие задачи включают весь материал этой задачи плюс новые теоретические сведения и их применение. Кроме того, с первой задачи приходится усваивать не только новый материал, но и терминологию данного предмета.

Примерный план (алгоритм) решения задач статики:

1. Назвать (выделить) объект: тело, узел, равновесие которого надо рассмотреть в данной задаче.

2. Указать на рисунке силы, действующие на этот объект:

а) активные силы;

б) назвать каждую связь и пояснить направление реакций связи или их составляющих (мысленно освобождая объект от связи на основании аксиомы освобождения от связей);

3. Назвать вид полученной системы сил, учитывая расположение линий действия сил.

4. Сформулировать условия равновесия полученной системы сил в алгебраической (координатной) форме.

5. Провести на рисунке координатные оси (если заранее не потребовалось это сделать).

6. Составить уравнения равновесия.

7. Решить систему уравнений с пояснением.

8. Сделать проверку.

9. Записать ответ.

При работе необходимо использовать учебник, данное пособие и справочник по математике.

Задача С1

Жесткая рама (рис. С1.0-С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н×м и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действуют сила F₁ = 10 Н под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке К, и сила F₄ =40 Н под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке Н).

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м.

Указания. Задача C1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента какой-либо силы часто удобно разложить ее (согласно аксиоме параллелограмма сил) на составляющие и (не обязательно параллельно координатным осям), так, чтобы плечи этих составляющих определялись легче, чем плечо силы . После этого воспользоваться теоремой Вариньона в алгебраической форме:

.

Таблица С1

Сила
Номер условия	F1 = 10 H	F2 = 20 H	F3 = 30 H	F4 = 40 H
Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	H
	-	-	H		K		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	K		E		-	-
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	K
	D		-	-	H		-	-
	-	-	H		-	-	D
	E		-	-	-	-	K

Перед выполнением задания прочтите по учебнику темы: «Основные понятия и аксиомы статики», «Связи и реакции связей», «Плоская система сил», «Пара сил».

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

1. Сила, линия действия силы.

2. Проекция силы на ось. В каком случае проекция силы на ось равна нулю?

3. Проекция силы на плоскость, в каком случае эта проекция равна нулю. Отличие проекции силы на плоскость от проекции силы на ось.

4. Алгебраической момент силы относительно центра (точки). В каком случае момент силы относительно центра равен нулю?

5. Что называется связями, перечислите виды связей.

6. Аксиома освобождения от связей.

7. Реакция связи, ее направление и точка приложения.

8. Какая система сил называется плоской (произвольной плоской)? Условия равновесия плоской системы сил в алгебраической (координатной) форме.

9. Теорема Вариньона в алгебраической форме.

Пример C1. Жесткая пластина ABCD (рис. C1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН × м, b =30°, l= 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы:

а) активные силы (нагрузки): силу и пару сил с моментом М;

б) реакции связей:

в точке А связью является неподвижная шарнирная опора, ее реакцию изображаем двумя составляющими , параллельными координатным осям;

в точке В связью является подвижная шарнирная опора на катках, ее реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры катков;

в точке D связью является трос, реакция троса направлена вдоль троса от пластины (по модулю Т = Р).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. Первые два уравнения выражают равенство нулю алгебраических сумм проекций всех сил на оси координат х и у:

(1)

(2)

Третье уравнение выражает равенство нулю алгебраической суммы моментов всех сил относительно произвольной точки тела. Для уменьшения числа неизвестных реакций связей в этом уравнении выбираем точку, через которую проходят линии действия двух неизвестных сил (точку А). При вычислении момента силы относительно точки А разложим силу на составляющие и воспользуемся теоремой Вариньона в алгебраической форме: . Получим

(3)

Решение системы уравнений начинаем с уравнения (3), так как оно содержит одну неизвестную :

кН.

Подставляем в уравнение (1):

.

Подставляем в уравнение (2):

Проверка.Для проверки можно составить уравнение моментов относительно любой другой точки (кроме А). Желательно выбрать точку, относительно которой имеют моменты все три неизвестные силы (например, точку Е).

Составим уравнение и подставим в него найденные реакции связей. Если задача решена верно, то сумма моментов всех сил должна быть близка к нулю (разница между суммой положительных чисел и модулем суммы отрицательных чисел не должна превышать 1% от этих величин).

Погрешность расчета составляет .

Ответ: Х_А = -8,5 кН, Y_A = -23,3 кН, R_B = 7,3 кН. Знаки указывают, что составляющие реакции шарнира и направлены противоположно показанным на рис. C1.

В примерах выполнения последующих задач решение уравнений и проверка не приводятся, но это необходимо делать при выполнении каждой задачи контрольной работы.

КИНЕМАТИКА

Задача К1

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f₁ (t), у = f₂ (t), где х и у выражены в сантиметрах, t -в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1с определить координаты, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Выполнить рисунок на странице в клетку или на вклеенном листке миллиметровой бумаги, на котором изобразить:

а) траекторию точки и ее координаты для заданного момента времени (в масштабе координат);

б) проекции скорости точки на оси координат и вектор скорости точки для заданного момента времени (в масштабе скоростей), причем полученный вектор скорости должен быть направлен по касательной к траектории;

в) проекции ускорения точки на оси координат и вектор ускорения точки для заданного момента времени (в масштабе ускорений), причем полученный вектор ускорения должен быть направлен в сторону вогнутости траектории (для прямолинейной траектории – вдоль этой прямой);

г) проекции вектора ускорения на касательную и нормаль (касательное и нормальное ускорения), определить их значения с помощью масштаба ускорений и сравнить со значениями, вычисленными по формулам.

д) отложить по нормали радиус кривизны в масштабе координат и показать центр кривизны траектории для данной точки (если позволяют размеры рисунка, в противном случае указать, что центр кривизны находится за пределами рисунка.

Таблица К1

Условия	y = f2(t)
Рис. 1-2	Рис.3-6	Рис.7-9

Зависимость х = f₁, (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₂ (t) дана в табл. К1 (для рис. О-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C1, C2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 - по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 – 2sin²a = 2 cos²a- 1; sin 2a = 2sin a×cos a.

Пример К-1. Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:

, (1)

, (2)

где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах.

Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при (начальное положение) и при c ; скорость точки; ускорение точки; касательное , нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории . В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение.1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t - время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

.

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что , найдем :

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. 1) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.

2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

3. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

Указываем на рисунке точки и , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) - уравнения движения точки - находим