Опорный справочник по теории

М.А.Никитин, Ж.Ю.Нестерова, К.В.Власова

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕСТ-ЗАДАЧИ

ПО МЕХАНИКЕ

Методические указания

Для практикума и самоконтроля знаний

Издательство

Российского государственного университета имени И.Канта

Калининград

Представлен опорный справочник основных понятий и определений кинематики и динамики материальной точки и твердого тела, а также динамики систем материальных точек. Приведены рекомендации по решению задач по механике с демонстрацией алгоритма решений на примерах задач повышенной трудности. Содержит сборник тестовых задач для самостоятельной проверки знаний и навыков решения задач по механике. Представлен дополнительный материал по векторной алгебре, приемам решения простейших дифференциальных уравнений, основным константам и обозначениям, греческому алфавиту.

Содержание

1. Введение: назначение пособия

2. Опорный справочник по теории

2.1. Основные понятия кинематики материальной точки

2.2. Основные понятия динамики материальной точки

2.3. Основные понятия динамики системы материальных частиц

2.4. Основные понятия динамики твердого тела

3 Рекомендации по решению задач по механике с примерами решений

4. Качественные задачи-оценки

5. Тестовые задачи

6. Оценки для самоконтроля знаний

7. Дополнительный материал

7.1. Векторные величины

7.2.Таблицы производных и интегралов

7.3. Решение простейших дифференциальных уравнений

7.4. Основные физические константы и обозначения

7.5. Греческий алфавит

8. Литература

1 . ВВЕДЕНИЕ: НАЗНАЧЕНИЕ ПОСОБИЯ

Механика – начальный курс общей физики, который читается в университете студентам физического факультета. Тематически он близок школьному курсу механики, но значительно превосходит его по объему, глубине материала и математизации. Количество же аудиторных часов, выделяемых на лекционные и практические занятия по механике в вузе и в школе практически одинаково. По этой причине центр тяжести при изучении механики в вузе переносится на самостоятельную работу студентов. Сказанное, прежде всего, относится к практике решения задач по механике, где требуются постоянная работа с учебниками и пособиями, как для углубления теоретических познаний, так и для освоения ранее не знакомых методов и приемов решения задач. Успех здесь зависит от того, насколько быстро студент может получить необходимую информационную поддержку. Это обстоятельство было в фокусе внимания авторов, когда они обдумывали идею написания этого пособия. Оно и определило окончательно содержание пособия и включение в него следующего материала.

1. Справочник по основным законам и понятиям таких разделов классической механики как кинематика материальной точки и твердого тела, динамика материальной точки, систем материальных точек и твердого тела. Акцент в справочнике сделан на математические формулировки законов и понятий, так как только язык математики превращает физику в точную науку, соединяя воедино причину и следствие с помощью математических уравнений, соотношений и формул.

2. Рекомендации по решению задач по механике с разбивкой решения на составные элементы и примеры решения задач повышенной трудности и задач-оценок.

3. Тест-задачник для самостоятельной проверки знаний на основе технологии тестирования, применяемой при сдаче единых государственных экзаменов.

4. Дополнительный справочный материал по векторной алгебре, методам решения простейших дифференциальных уравнений, встречающихся в механике, физическим константам, греческому алфавиту и принятым обозначениям.

Таким образом, пособие обеспечивает информационную поддержку, необходимую для решения задач и самопроверки знаний.

В заключение, считаем необходимым, отметить следующее. Задачи-тесты, представленные в пособии, в массе своей не являются авторскими. Они заимствованы из прекрасных отечественных изданий по физике, выпущенных в свет в различные годы. Назовем их здесь и пожелаем студентам поближе познакомиться с ними и испытать свои силы на интересных и оригинальных задачах.

С.М.Козел, Э.И.Рашба, С.А.Славатинский «Сборник задач по физике».

Е.И.Бабаджан, В.И.Гервидс, В.М.Дубовик, Э.А.Нерсесов «Сборник качественных вопросов и задач по физике».

Стрелков Сивухин Угаров Яковлев «Сборник задач по общему курсу физики. Механика». …….

И.Ш.Слободецкий. Л.Г.Асломазов «Задачи по физике».

Г.В.Меледин «Физика в задачах».

ОПОРНЫЙ СПРАВОЧНИК ПО ТЕОРИИ

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Движение — изменение положения материальной точки со временем по отношению к другим телам.

Система отсчета — система измерений времени и пространственных координат, связанных с наблюдателем.

Декартова система координат — система из трех взаимоперпендикулярных осей ox, oy, oz, пересекающихся в начале координат.

— единичные направляющие векторы или орты.

Вектор перемещения — вектор, описывающий движение материальной точки. Вектор перемещений соединяет начальное и конечное положение материальной точки.

Представление движения в виде многозвенной линии перемещения. Полное перемещение S равно сумме отдельных перемещений

.

В общем случае .

Путь — длина траектории, пройденной материальной точкой к некото­рому времени. Полный путь равен сумме отдельных путей.

В общем случае

.

Предельное соотношение элементарного пути и элементарного пере­мещения.

Элементарное перемещение — это бесконечно малое перемещение. Такие перемещения задаются дифференциалом .

Элементарный путь — это путь, отвечающий бесконечно малому перемещению .

Рисунок отражает ситуацию условно. Бесконечно малое перемещение и бесконечно малый путь связаны соотношением .

Модуль мгновенной скорости — это отношение элементарного пути к элементарному интервалу времени , за который этот путь пройден . По определению, модуль скорости равен производной пути по времени.

Вектор мгновенной скорости — это отношение элементарного пе­ремещения к элементарному интервалу времени , за который это пе­ремещение произошло . По определению, вектор скорости равен производной от вектора пе­ремещений .

Представление полного перемещения как суммы трех перемещений вдоль координатных осей

,

здесь перемещения вдоль осей ox, oy и oz.

,

здесь — элементарные перемещения вдоль осей ox, oy и oz.

Радиус-вектор — это вектор, соединяющий начало координат и точку наблюдения

.

A

Представление вектора перемещения через радиус-вектор

,

,

.

Разложение вектора мгновенной скорости на компоненты

,

,

.

, .

Элементарный путь равен

.

Полный путь — есть сумма элементарных путей. Эта сумма в пределе переходит в определенный интеграл

.

Равномерное движение — это движение, при котором модуль скорости не меняется со временем . Для равномерного движения

.

Средняя скорость — это скорость, с которой материальная точка прой­дет весь путь за полное время t в предположении, что она движется весь путь со средней скоростью.

.

Вектор ускорения — это вектор, который показывает, как быстро меняется век­тор скорости.

Средний вектор ускорения:

.

Мгновенный вектор ускорения:

.

Разложение вектора ускорений на компоненты:

,

,

, , .

Выражение скорости через ускорение

,

.

Случай равноускоренного движения:

.

Связь полного перемещения с начальной скоростью, ускорением и временем движения:

, ,

,

,.

Случай равноускоренного или равнозамедленного прямолинейного движения, когда

,

здесь знак «+» отвечает равноускоренному движению, знак «-» — равнозамедленному.

Связь между путем, скоростью и ускорением для равномерного прямолинейного движения:

.

Свободное падение тел в поле тяготения Земли.

Под свободным падением тел понимается движение под давлением только силы тяжести ил тяготения. Как показал Г. Галилей, свободное па­дение происходит с постоянным ускорением .

Расчетные формулы для свободного падения тел, брошенных вверх и падающих вниз:

,

,

,

здесь — полная высота подъема,

— полное время подъема, — текущая высота подъема.

Расчетные формулы для свободного падения тел, брошенных под углом к горизонту:

, , ,

здесь — максимальная высота полета, — дальность, — полное время.

Тангенциальное и нормальное ускорение

, ,

здесь — тангенциальное ускорение,

— нормальное ускорение.

,

,

— радиус кривизны траектории.

2.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

Сила— количественная мера действия одного тела на другое.

Действие сил проявляется в двух формах:

в деформациях;

в ускоренном движении.

Сила упругости возникает при деформации тел и зависит от степени деформации. Для малых упругих деформаций справедлив закон Гука:

,

где - сила деформации;

- величина деформации.

Примеры сил упругости:

сила реакции опоры — сила, действующая со стороны опоры на тело;

сила нормального давления на опору;

сила натяжения - сила, действующая вдоль нити, троса и т. д.

Сила всемирного тяготения (Закон Ньютона).

,

здесь и - электрические заряды точечных частиц,

— расстояние между ними;

— гравитационная постоянная.

Сила электростатического взаимодействия

,

здесь и - электрические заряды точечных частиц,

— расстояние между ними;

.

Сила Лоренца — это сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле и равная:

,

здесь - электрический заряд частицы;

- вектор скорости;

— индукция магнитного поля.

Направление действия определяется правилом левой руки: силовые линии индукции входят в ладонь, сама ладонь сориентирована по вектору скорости, большой палец, оттопыренный под к ладони указывает направление .

Силы трения

Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого, определяется характером взаимодействия поверхностей трущихся тел и равна:

,

Здесь - коэффициент трения, зависит от материала и качества обработки поверхностей;

- сила нормального давления.

Сила трения покоя — это сила, которая возникает при попытке сдвинуть покоящееся тело вдоль поверхности другого. Сила трения покоя возникает как противодействие приложенной внешней силе и равна ей до тех пор, пока тело покоится:

.

Инерциальные системы отсчета - это системы, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно или покоятся.

Масса тела — это мера инертности тела, т. е. мера способности тела сохранить свое предыдущее состояние при действии силы.

Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость:

.

Первый закон Ньютона (закон инерции): в инерциальных системах отсчета материальные тела движутся равномерно и прямолинейно или покоятся, если на них не действуют никакие силы или действие сил скомпенсировано.

Второй закон Ньютона: в инерциальных системах отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна сумме сил, действующих на это тело:

.

Второй закон Ньютона для тел, масса которых остается постоянной:

или .

Отсюда следует, что для тел постоянной массы ускорение тела пропор­ционально действующей силе и обратно пропорциональна массе.

Элементарный импульс силы:

.

Полный импульс силы — это сумма элементарных импульсов силы за все время действия:

.

Связь импульса материальной точки с импульсом силы:

.

Уравнение движения материального тела в декартовых координатах:

.

Уравнение статического равновесия материальных тел:

.

В состоянии статического равновесия сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.

Момент силы равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы:

,

,

здесь - плечо силы — кратчайшее расстояние между линией действия силы и началом системы отсчета.

Момент импульса силы — это физическая величина, равная векторно­му произведению радиус-вектора точки приложения импульса на вектор импульса:

.

Уравнение моментов

Уравнение моментов связывает момент силы с моментом импульса:

.

Из последнего выражения видно, что скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту силы, действующей на эту точку.

Момент импульса материальной точки, движущейся по окружности:

.

Работа постоянной силы А равна:

, здесь - перемещение;

- сила;

- угол между направлением действия силы и перемещением.

Элементарная работа ‑ это работа, совершаемая силой на бесконечно малом перемещении :

.

Полная работа — это сумма всех элементарных работ, совершенная при движении материальной точки. Полная работа равна интегралу от элементарных работ:

,

здесь буква под интегралом указывает на то, что интеграл берется вдоль траектории движения.

Потенциальные силы — это особый класс сил, работа которых не зависит от формы пути, а зависит только от положения конечной и начальной точек перемещения.

Для всех трех путей

.

Потенциальная энергия — это способность потенциальных сил совершать работу. Потенциальная энергия связана с работой соотношением:

,

здесь — работа по перемещению материальной точки из положе­ния 1 в положение 2;

и — потенциальная энергия в т.1 и т.2;

- изменение потенциальной энергии.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия покоящихся или медленно движущихся по сравнению со скоростью света материальных точек:

,

здесь все обозначения такие же как в формуле для силы гравитационного взаимодействия.

Потенциальная энергия тел вблизи поверхности Земли:

,

— высота над поверхностью. Земли;

— ускорение свободного падения.

Последняя формула легко получается из предыдущей в предположении, что , здесь — радиус Земли.

Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия покоящихся или медленно движущихся точечных электрических зарядов:

.

В этой формуле все обозначения, как и в формуле для силы Кулона.

Потенциальная энергия упруго деформируемой пружины:

.

Мощность равна быстроте изменения работы:

,

, .

Для прямолинейного движения:

.

Так как численно равна пути, пройденному материальной точкой за единицу при равномерном движении, то мощность численно равна работе, совершенной силой за единицу времени.

Кинетическая энергия ‑ это энергия, которой обладает материальная точка из-за своего движения:

.

Связь кинетической энергии и работы:

,

.

Из последней формулы видно, что работа силы может увеличивать кинетическую энергию и, наоборот, за счет кинетической энергии тела может совершаться работа.

Связь между кинетической и потенциальной энергией при движении в поле потенциальных сил:

и ,

отсюда следует, что

и

.

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий материальной точки:

.

При движении в поле потенциальных сил

, .

Равенство дифференциала от Е нулю означает, что сумма постоянна. Закон сохранения полной механической энергии материальной точки: при движении в поле потенциальных сил полная механическая энергия сохраняется.

Центральными силами называются силы, линия действия которых совпадает по направлению с радиус-вектором системы отсчета, в случае, когда силовой центр совпадает с началом системы отсчета.

— сила, действующая на тело в точке А

.

Момент силы центральной силы равен нулю:

.

Сохранение момента импульса материальной точки

При движении материальной точки в поле центральной силы момент импульса сохраняется , так как момент силы равен нулю:

, .

2.3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК.

Центром масс системы материальных точек является точка пространства, радиус-вектор и координаты которой определяются следующим образом:

,

где - масса -ой частицы,

- ее радиус-вектор.

Полный импульс системы материальных точек равен геометрически сумме всех импульсов материальных точек:

.

Связь полного импульса материальных точек с радиус-вектором центра масс

; ,

здесь - полная масса системы материальных точек,

- скорость движения центра масс.

Сохранение полного импульса замкнутой системы материальных точек

В замкнутой системе полный импульс сохраняется:

,

.

Полная механическая энергия системы материальных точек

Полная механическая энергия системы материальных точек равна сумме механических энергий точек, входящих в эту систему:

,

здесь - потенциальная энергия -частицы системы с частицей.

Кинетическая энергия центра масс системы материальных точек:

.

Кинетическая энергия системы материальных точек относительно центра масс:

.

Внутренняя энергия системы материальных точек

Сумма кинетической энергии системы материальных точек относительно центра масс и полной потенциальной энергии взаимодействия этих точек есть внутренняя энергия системы:

,

.

Сохранение внутренней энергии системы материальных точек

В замкнутой системе материальных точек при действии только потенциальных сил внутренняя энергия сохраняется:

,

Последнее соотношение показывает, что при сохранении внутренней энергии кинетическая энергия относительного движения может переходить в потенциальную энергию взаимодействия и наоборот.

Момент импульса центра масс

Момент импульса центра масс равен векторному произведению радиус-вектора центра масс и полного импульса системы:

.

Момент импульса относительного движения системы материальных точек

Момент импульса системы материальных точек, связанный с относительным движением точек относительно центра масс равен:

,

здесь - радиус-вектор точки относительно центра масс,

- относительная скорость этой точки.

Полный момент импульса системы материальных точек

Сумма момента импульса центра масс системы и момента импульса относительного движения точек равна полному моменту импульса системы

.

Момент равнодействующей силы

,

здесь - радиус-вектор центра масс,

- сумма всех внешних сил, действующих на материальную точку системы.

Суммарный момент внешних сил относительно центра масс

.

Уравнения моментов для системы материальных точек:

.

.

2.4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Абсолютно твердое тело — это тело, размеры и форма которого остаются неизменными.

Движение абсолютно твердого тела складывается из двух независи­мых движений — поступательного и вращательного.

Поступательное движение твердого тела — это движение, при кото­ром все точки движутся по траекториям, параллельным друг другу.

Вращательное движение абсолютно твердого тела — это движение, при котором точки твердого тела вращаются в параллельных плоскостях вокруг оси, проходящей через твердое тело или находящейся вне его.

Плоскости движения точек перпендикулярны оси вращения.

Угловая скорость вращения

Средняя угловая скорость — это отношение угла поворота точки ко времени этого поворота: .

Мгновенная угловая скорость — это угловая скорость двух бесконечно малых интервала времени: , здесь — бесконечно малый угол поворота.

Линейная скорость вращательного движения материальной точки:

,

,

.

Линейная скорость вращательного движения материальной точки равна произведению радиуса траектории на угловую скорость

.

Вектор угловой скорости — это вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с осью вращения. Точное направление вектора определяется правилом правого винта: при вращении головки правого винта в направлении вращения точки или твердого тела, направление хода винта задает направление вектора .

Уравнение связи векторов ,

.

Скорость движения произвольной точки твердого тела

Полная скорость произвольной точки А твердого тела равна

,

здесь — скорость центра масс,

— радиус- вектор, направленный из центра масс в точку А.

Угловое ускорение

Угловое ускорение равно быстроте изменения вектора угловой ско­рости:

.

Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела

Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела равна сумме кинетических энергий всех материальных частиц, входящих в это тело:

,

,

,

I ‑ момент инерциитвердого тела относительно оси вращения, совпадающего с вектором .

Момент импульсавращательного движения твердого тела

Момент импульса вращательного движения твердого тела равен сумме моментов импульса входящих в него материальных частиц:

; ,

.

В векторном виде этот результата выглядит так:

.

Последнее соотношение справедливо только для твердых тел, вращающихся относительно закрепленной оси, или тел симметричной формы.

Качение

Движение колеса или любого другого симметричного тела по поверхности с вращением называется качением.

Качение без проскальзывания — это движение, когда скорость катящегося колеса в точке контакта с поверхностью равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром вращения, т.к. в данный момент времени остальные точки колеса проворачиваются относительно мгновенного центра вращения.

,

.

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр

,

здесь m — масса стержня, — длина стержня.

Момент инерции тонкого обруча относительно оси, перпендикулярной его плоскости ,

здесь — масса обруча,

— радиус.

Момент инерции тонкого диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости

.

Момент инерции тонкого диска относительно оси, лежащей в плоскости диска

.

Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей че­рез его центр.

.

Уравнение моментов для твердого тела

Уравнение моментов связывает руг с другом момент импульса и момент силы:

,

здесь — быстрота изменения момента импульса, — момент силы, — момент инерции, — угловая скорость.

Из уравнения моментов силы следует, что элементарное приращение момента импульса равно:

; .

Моменты сил, действующие на движущееся с ускорением колесо

— момент силы, создаваемый приводным механизмом двигательного устройства,

— момент силы трения.

Уравнение моментов для колеса: .

При ; , колесо вращается ускоренно.

Уравнения движения твердого тела

Для описания движения твердого тела необходимо использовать два уравнения, каждое из которых описывает свой путь движения.

Поступательное движение описывается II-м законом Ньютона для центра масс т.т.:

,

здесь — — внешняя сила, действующая на т.т. в точке ее приложения, M — масса тела, — ускорение, — скорость центра масс.

Вращательное движение описывается уравнением моментов:

здесь — момент инерции, — угловое ускорение, — момент внешней силы относительно центра масс.

Скатывание цилиндра с наклонной плоскости

Уравнение движения центра масс: .

Уравнение моментов: .

Условия непроскальзывания цилиндра в точке А: .

Ускорение, с которым скатывается цилиндр: .

В приведенных формулах I — момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс цилиндра.

Закон сохранения момента импульса твердого тела или тела, форма которого меняется относительно оси вращения

Момент импульса тела сохраняется, если на него не действуют внешние силы: , .

Гироскоп - это массивное быстровращающееся осесимметричное тело.

При действии на гироскоп момента внешних сил происходит регулярная прецессия: ось вращения гироскопа сама начинает вращаться (прецессировать) в пространстве.

Скорость угловой прецессии связана с моментом им­пульса и моментом силы соотношением:

.

Траектория движения центра масс при прецессии:

.

Работа момента силы

При вращении точи или твердого тела момент силы совершает работу, равную

.

Мощность момента силы равна:

.

Полная кинетическая энергия движущегося твердого тела

.