Якщо в якості регулятора використовується підсилювач із коефіцієнтом підсилення К, тоді регулююче діяння визначається як

. (1.18)

В цьому випадку, система регулювання, що показана на рис.1.19, характеризується системою диференціальних рівнянь

(1.19)

де F(t)- функція, що визначає зв'язок між вхідним та вихідним сигналами ОР.

Розв'язавши систему (1.19) відносно сигнала похибки, одержуємо

. (1.20)

Із (1.20) витікає, що зміна К викликають зміну величини похибки. Рівняння показує, що в даній системі регулююче діяння пропорційне похибці – пропорційний закон регулювання. Корегуюча ланка, що реалізує даний закон називається пропорційним регулятором (П-регулятором). Так як рівняння для сканченної величини К не дорівнює нулю, то система регулювання із пропорційним регулятором є статичною.

Якщо в якості регулятора в системі застосувати інтегратор, то зв'язок між похибкою і регулюючим діянням прийме наступний вигляд

, (1.21)

де Т- стала часу інтегратора.

Тоді система диференційних рівнянь, що описує систему регулювання має вигляд

(1.22)

Із (1.22) витікає, що в даному випадку похибка регулювання визначається транцендентним рівнянням

(1.23)

В усталеному режимі, тобто коли t®¥, умовою збіжності рівняння (1.23) є .

Даний закон регулювання називають інтегральним. Регулятор, що реалізує даний закон регулювання – інтегральний регулятор (І-регулятор). Застосування даного регулятора надає системі астатизму першого порядку.

Поведінка системи автоматичного регулювання із І-регулятором в перехідному режимі гірша ніж із П-регулятором. Пояснюється це інтегральним зв'язком в (1.22) між вихідним сигналом об'єкта регулювання y(t) і похибкою х(t). Зазначений недолік виправляється застосуванням пропорційно-інтегрального закону регулювання для якого

. (1.24)

Даний закон регулювання поєднує в собі позитивні властивості інтегрального закону в усталеному режимі із позитивними властивостями пропорційного закону в перехідному режимі. Регулятор, що реалізує залежність (1.24) пазивається пропорційно-інтегральним (ПІ-регулятор). Система регулювання із ПІ-регулятором в усталеному режимі має Dе(t)=0. Поліпшення поведінки системи в перехідному режимі досягається за рахунок пропорційної складової Dе(t)×К.

Подальше поліпшення динамічних властивостей системи автоматичного регулювання досягається введенням в регулююче діяння похідної від сигнала похибки. Введення похідної є потужним засобом поліпшення поведінки системи регулювання. Такий прийом застосовують в совокупності як із пропорційним, так із інтегрально-пропорційним законами. В першому випадку одержують пропорційно-диференційний закон регулювання для якого

, (1.25)

що реалізується пропорційно-диференційним регулятором (ПД-регулятором). Даний регулятор реагує не тільки на саму похибку, а і на тенденцію її зміни. Такий регулятор демпфує коливання в системі, що виникають із-за наявностей в ній інерційних елементів. Компенсація статичної похибки системи із ПД-регулятором досягається застосуванням пропорціно-діференційно-інтегрального (ПІД) регулятора регулююче діяння якого описується рівнянням

. (1.26)

Введення в систему інтегральної складової від похибки надає системі регулювання астатизму першого порядку поряд із високими динамічними властивостями.