Динамика материальной точки

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время задача повышения качества образования поставлена концепцией модернизации российского образования, одним из шагов которой является введение рейтинговой системы одновременно с широким использованием тестирования, усиливающего роль и значение самостоятельной работы студента.

Тестирование позволяет наиболее полно и дифференцировано оценить уровень знаний и умений каждого студента по учебной дисциплине. Контроль качества усвоения и понимания изучаемого предмета, через мыслительную деятельность тестируемого, служит самообучающим источником знаний. Организация тестового контроля по теоретической механике имеет свою особенность в силу обилия теорем и законов, записанных в математической форме. Тесты по теоретической механике существенно отличаются от вербальных тестов, так как в них используется большое количество векторов, изображающих физические величины.

Тестовое задание по теоретическому материалу курса, отражает основные понятия, законы и уравнения теоретической механики.

Настоящее учебное пособие предназначено для проведения самоконтроля перед текущим и промежуточным тестированием. В основу пособия положены вопросы самоконтроля из "Курса теоретической механики" Яблонского А. А.

Рекомендуется перед использованием пособия изучить курс теоретической механики по одному из учебников, приведенных в библиографическом списке.

Пособие рассчитано на студентов очной и заочной форм системы обучения и может быть использовано в качестве справочного пособия для инженеров и других специалистов.

ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ ПО СТАТИКЕ

Что называется связью?

Тело, ограничивающее свободу движения данного твёрдого тела, является по отношению к нему связью.

В чём заключается принцип освобождаемости от связей?

Несвободное твёрдое тело можно рассматривать как свободное, на которое, кроме задаваемых сил, действуют реакции связей.

Перечислите основные типы опор, для которых линии действия реакции известны.

а) гладкая плоскость (реакция направлена перпендикулярно к плоскости);

б) нить, канат (реакция направлена вдоль нити);

в) шарнирно-подвижная опора (реакция проходит через центр шарнира перпендикулярно к опорной плоскости);

г) опорный стержень с шарнирами на концах (реакция направлена по стержню).

Как определяется направление равнодействующей системы сходящихся сил?

Равнодействующая сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия сил и равна их геометрической сумме.

Равнодействующая направлена по прямой, соединяющей начало первой и конец последней силы.

Каковы условия и уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил?

Условиями равновесия выражаются замкнутостью силового многоугольника, т. е. начало первой и конец последней силы совпадают.

Для плоской сходящейся системы сил имеем два уравнения равновесия.

, .

Как формулируется план решения задач статики на равновесие сил?

Все задачи на равновесие сил, приложенных к некоторому телу, решаются по следующему плану:

а) Показываем действующие на тело задаваемые силы.

б) Мысленно освобождаем тело от связей, заменяя их действие реакциями связей.

в) К полученной системе сил применяем условия равновесия, соответствующие этой системе.

г) Определяем искомые величины.

Как формируется теорема о равновесии трёх непараллельных сил?

Линии действия трёх непараллельных, взаимно уравновешивающихся сил пересекаются в одной точке.

В чём заключается сущность способа вырезания узлов?

Способ вырезания узлов состоит в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляют по два уравнения равновесия сил, приложенных к данному узлу. Реакции стержней направляют от узлов. Если в результате вычислений получат ответ со знаком минус, то соответствующий стержень сжат.

Каковы леммы о нулевых стержнях?

Если усилия в отдельных стержнях загруженной фермы равны нулю, стержни принято называть нулевыми стержнями.

Лемма 1. Если в незагруженном узле фермы сходятся два стержня, то усилия в этих стержнях равны нулю.

Лемма 2. Если в незагруженном узле фермы сходятся три стержня, из которых два расположены по одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в двух первых стержнях равны между собой.

Лемма 3. Если в узле фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю данной силе, а усилие в другом стержне равно нулю.

Сформулируйте теоремы о парах сил на плоскости.

а) Пару сил можно перемещать в любое положение в плоскости её действия.

б) Пары сил, моменты которых численно равны и одинаковы по знаку, эквивалентны.

в) Момент пары сил, эквивалентной рассматриваемой системе пар на плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Сформулируйте условие равновесия пар на плоскости.

Пары сил на плоскости уравновешиваются в том случае, если алгебраическая сумма их моментов равна нулю.

Как направлены реакции опор балки, нагруженной парой сил и лежащей на двух опорах, одна из которых – шарнирно-неподвижная, а другая – на катках?

Так как заданная нагрузка состоит только из пары сил, то реакции опор должны составить пару сил, параллельных реакции опоры на катках и направленную в сторону обратную направлению приложенной пары сил.

Зависит ли главный вектор и главный момент заданной системы сил от выбора центра приведения?

Главный вектор, равный геометрической сумме всех сил системы, не зависит от выбора центра привидения.

Главный момент, равный алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра привидения, зависит от выбора этого центра, так как выбор центра привидения влияет на величину и знак главного момента.

Каковы возможные случаи приведения сил, произвольно расположенных на плоскости?

а) Главный вектор , главный момент . В этом случае силы взаимно уравновешиваются.

б) Главный вектор , главный момент . Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту сил относительно центра приведения.

в) Главный вектор , главный момент . Система сил приводится к равнодействующей силе, равной главному вектору сил, линия действия которой проходит через центр приведения.

г) Главный вектор , главный момент . Система сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит от центра приведения на расстоянии .

Сформулируйте теорему Вариньона.

Момент равнодействующей силы относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

.

Запишите системы уравнений равновесия произвольной плоской системы сил.

;

;

.

Какие задачи называются статически определимыми?

Задачи, которые можно решать методами статики твёрдого тела, то есть задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил, называются статически определимыми.

В чём состоит условие равновесия сил, приложенных к рычагу?

При равновесии сил, приложенных к рычагу, алгебраическая сумма моментов всех задаваемых сил, относительно опорной точки равна нулю.

.

Что называется коэффициентом устойчивости?

Коэффициентом устойчивости при опрокидывании принято определять отношением величины удерживающего момента к величине опрокидывающего момента.

В случае устойчивого равновесия .

В чём заключается сущность способа Риттера?

В ферме проводится сечение, рассекающее не более трёх стержней. Мысленно отбрасываем одну из частей фермы, заменяя её действие реакциями, направленными по стержням в сторону отброшенной части. Для определения известных усилий в стержнях составляем уравнения моментов относительно точек пересечения стержней (точки Риттера). Знак минус при решении уравнений означает, что стержень сжат.

Как определяется величина и направление силы трения?

При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения, модуль которой пропорционален нормальному движению , а направление этой силы противоположно направлению скорости тела, равная , где — коэффициент трения скольжения.

Как аналитически определить равнодействующую пространственной системы сходящихся сил?

Модуль равнодействующей равен:

;

где , , .

Направление равнодействующей определяется направляющими косинусами

, , .

Запишите условия равновесия пространственной системы сходящихся сил.

, , .

Как определяется момент пары сил в пространстве?

Момент пары сил в пространстве рассматривают как вектор, направленный по перпендикуляру к плоскости пары сил в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть пару стремящейся вращать плоскость против движения часовой стрелки:

.

Модуль вектора момента пары равен произведению одной из сил пары на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары

.

Перечислите теоремы о парах сил в пространстве.

а) Заданную пару сил, не изменяя её действия на твёрдое тело, можно перенести в любую плоскость, параллельную плоскости движения пары.

б) Пары сил эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

в) Момент пары сил, эквивалентной данной системе пар в пространстве, равен геометрической сумме моментов составляющих систему пар.

Запишите условия равновесия пар в пространстве.

Пары сил, расположенные произвольно в пространстве, уравновешиваются в том случае, если геометрическая сумма их моментов равна нулю

.

Запишите момент силы относительно точки как векторное произведение.

Вектор момента силы относительно точки можно рассматривать как векторное произведение радиуса вектора , проведённого из центра момента в точку приложения силы, на вектор силы .

.

Как вычисляется момент силы относительно оси?

Моментом силы относительно оси называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на её плечо относительно точки пересечения оси с плоскостью:

.

Какая зависимость существует между моментами силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку?

Проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы относительно оси:

.

Выразите моменты силы относительно координатных осей через проекции силы на эти оси.

, , .

Запишите главные моменты системы сил относительно точки и относительно оси.

Момент, равный геометрической сумме моментов всех заданных сил относительно точки О, называется главным моментом системы сил относительно этой точки.

.

Момент, равный алгебраической сумме моментов всех заданных сил относительно оси z, называется главным моментом системы сил относительно оси z.

.

Какая зависимость существует между моментами силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку?

Проекция главного момента системы сил относительно некоторой точки на ось, проходящую через эту точку, равна главному моменту заданной системы сил относительно этой оси:

.

К чему могут быть приведены силы, произвольно расположенные в пространстве?

Силы, произвольно расположенные в пространстве, всегда могут быть приведены к одной силе, равной их главному вектору, приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Как вычисляются главный вектор и главный момент пространственной системы сил?

Модуль и направление главного вектора определяются по формулам:

;

, , ,

, , .

Модуль и направление главного момента определяется по формулам:

;

, , ,

, , .

Каковы условия равновесия произвольной пространственной системы сил?

Равновесию произвольной пространственной системы сил соответствуют два условия равновесия

, ,

которым соответствуют шесть уравнений равновесия

, , ,

, ,

Каковы условия равновесия пространственной системы параллельных сил?

Равновесию пространственной системы параллельных сил соответствуют три условия равновесия:

, , .

Как формулируется теорема Вариньона для пространственной системы мил?

Момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки, а момент равнодействующей силы относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой оси.

.

К какому простейшему виду можно привести пространственную систему сил, если главный момент относительно различных точек:

а) имеет одно и то же значение, не равное нулю;

б) равен нулю;

в) имеет различные значения и перпендикулярен к главному вектору;

г) имеет различные значения и не перпендикулярен главному вектору?

а) В случае, если , главный вектор и силы приводятся к паре сил с моментом равным главному моменту заданных сил относительно центра приведения.

б) Если , а , силы приводятся к равнодействующей силе, линия действия которой проходит через центр приведения.

в) Если , силы приводятся к равнодействующей равной главному вектору и приложенной в точке , находятся на расстоянии от точки .

г) Если не перпендикулярен , систему сил можно привести к силовому винту – динаме, представляющей собой совокупность силы и пары сил расположенной в плоскости, перпендикулярной к линии действия этой силы, с моментом равным:

.

Назовите инварианты системы сил.

а) Главный вектор данной системы сил инвариантен по отношению к центру приведения.

б) Скалярное произведение главного вектора на главный момент данной системы сил инвариантно по отношению к центру приведения:

.

в) Проекция главного момента системы сил относительно любого центра на направление главного вектора есть величина постоянная:

.

Запишите уравнение центральной оси системы.

.

Что называется параметром динамы?

Постоянная линейная величина, равная , называется параметром винта или динамы.

Каким свойством обладает центр тяжести?

Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется центром тяжести. Направление сил притяжения отдельных частиц тела к Земле практически параллельны между собой. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес тела, а центр этой системы сил, в котором приложен вес тела, называется центром тяжести. В твердом теле центр тяжести не зависит от расположения тела в пространстве.

По каким формулам вычисляется положение центра тяжести однородного тела?

Радиус-вектор и координаты центра тяжести однородного тела определяются по формулам:

или , , ,

где , , , — радиус-векторы и координаты центров тяжести отдельных частей тела.

По каким формулам определяются координаты объема тела, плоских фигур к линии?

Координаты объёма тела определяются по формулам:

или , , .

Координаты центра тяжести пластинок (плоских фигур) определяются по формулам:

или , .

Координаты центра тяжести линий определяются по формулам:

или , , .

Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси? Как он вычисляется и какую размерность имеют?

Сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения их расстояний до некоторой оси, называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно этой оси.

;

Статический момент площади плоской фигуры относительно оси измеряется в .

Статический момент площади плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры, равен нулю.

Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?

Теорема 1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Теорема 3. Объём тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей её, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной её центром тяжести.

Теорема 4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но её не пересекающей, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной её центром тяжести.

Какими способами можно определить положение центра тяжести площади в случае, если известны положения центров тяжести отдельных её частей?

а) Метод группировки или разбиения.

Если определить центры тяжести отдельных частей фигуры, то центр тяжести можно определить по формулам:

; .

б) Метод отрицательных площадей.

Если в пластине имеется отверстие, то отверстие рассматривается как площадь с отрицательной массой.

Назовите основные аксиомы статики.

а) Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

б) Две силы, приложенные к твёрдому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны, и они направлены по одной прямой в противоположные стороны.

в) Если к твёрдому телу, находящемуся под действием некоторой системы сил, приложить уравновешенную систему или исключить такую систему сил, то получится система сил эквивалентная заданной системе.

г) Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

д) Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

е) Равновесие сил, приложенных к деформирующемуся телу, сохраняется при его затвердевании.

Как определяется проекция силы на ось?

Проекция силы на ось определяется произведением модуля силы на косинус угла между положительным направлениям оси и силы

.

а) Проекция положительна, если ,

б) Проекция равна нулю, если ,

в) Проекция отрицательна, если , где — острый угол между линией действия силы с осью.

Как определяется момент силы относительно точки на плоскости?

Моментом силы относительно некоторой точки на плоскости называется произведение модуля силы не её плечо относительно этой точки, взятое со знаком плюс или минус:

.

Плечом силы относительно точки называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.

Момент силы относительно точки будем считать положительным, если сила стремится повернуть плоскость чертежа вокруг точки в сторону, противоположную движению часовой стрелки, и отрицательным – в обратном случае.

ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ ПО КИНЕМАТИКЕ

Какие кинематические способы задания движения точки существуют и в чём состоит каждый из этих способов?

Существуют: естественный, векторный и координатный способы задания движения точки.

а). Естественный способ задания движения применяется в случае, когда траектория точки заранее известна (прямая или кривая линия). Положение движущейся точки на траектории определяется дуговой координатой, отсчитываемой от начала отсчёта:

.

б). При векторном способе задания движения положение точки в пространстве определяется заданием радиус-вектора , проведённого из неподвижного центра в данную точку.

.

в). При координатном способе задания движения положение точки в декартовой системе координат Ох, Oу, Oz определяется тремя координатами.

.

Чем является траектория точки при векторном способе задания движения точки?

Траектория точки является годографом её радиус-вектора .

Как по уравнениям движения точки в координатной форме определить её траекторию?

Для получения уравнения траектории необходимо исключить из уравнений движения параметр t (время).

Если движение точки в плоскости задано уравнениями:

.

то, решив первое уравнение относительно t, получим . Подставив t во второе уравнение, получим уравнение траектории:

.

Чему равен вектор скорости точки в данный момент и какое направление он имеет?

Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта. Вектор скорости равен производной от радиус-вектора точки по времени:

.

Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Как связан орт касательной к кривой с радиус-вектором движущейся точки?

.

Чему равна проекция скорости точки на касательную к её траектории и модуль её скорости?

Производная от дуговой координаты по времени представляет собой проекцию вектора скорости на касательную к траектории:

.

Модуль скорости точки равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени .

Как определяются проекции скорости точки на неподвижные оси декартовой системы координат?

; ; .

Как определяется величина и направление вектора скорости при координатном способе задания движения точки?

Величина вектора скорости определяется через его проекции:

.

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

; ; .

Чему равен вектор ускорения точки и как он направлен по отношению к годографу скорости?

Ускорение — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления скорости точки.

Вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени.

.

Как направлены естественные координатные оси в каждой точке кривой?

Естественными координатными осями называются три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты, главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой и бинормаль, направленная перпендикулярно плоскости проведённой через касательную и главную нормаль.

Каковы величина и направление вектора кривизны кривой в данной точке?

Вектор кривизны кривой в данной точке равен производной от орта касательной к кривой по дуговой координате:

.

Вектор кривизны расположен в соприкасающейся плоскости и направлен по главной нормали к центру кривизны кривой:

,

где — радиус кривизны кривой.

В какой плоскости расположено ускорение точки и чему равны его проекции на естественные координатные оси?

Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и равен геометрической сумме двух векторов, один из которых направленный по главной нормали, называется нормальным ускорением, а другой, направлен по касательной, называется касательным ускорением.

.

Проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату модуля скорости точки на радиус кривизны.

.

Проекция ускорения на касательную равна первой производной от алгебраической величины скорости или второй производной от дуговой координаты по времени

.

Как определяется величина и направление ускорения точки при естественном способе задания движения?

Величина ускорения равна:

.

Направление ускорения определяется углом между вектором и главной нормалью:

.

Что характеризует собой касательное ускорение?

Касательное ускорение существует лишь при неравномерном движении и характеризует изменение скорости по величине.

При каком движении точки равно нулю касательное ускорение, и при каком – нормальное?

Касательное ускорение равно нулю , при равномерном движении точки.

Нормальное ускорение равно нулю в случае прямолинейного движения точки.

Как классифицируются движения точки по ускорениям?

Если во всё время движения касательное ускорение равно нулю , то движение называется равномерным.

Если касательное ускорение точки во всё время движения постоянно , то движение называется равнопеременным.

Как определяются проекции ускорения на неподвижные оси декартовых координат?

Проекции ускорения на неподвижные оси равны первым производным по времени от проекций скоростей на соответствующие оси или вторым производным от соответствующих координат точки:

, , .

Как определяется модуль и направление ускорения при координатном способе задания движения точки?

Модуль ускорения определяется через проекции:

.

Направление ускорения определяется направляющими косинусами:

, , .

Что характеризует собой нормальное ускорение?

Нормальное ускорение существует лишь при криволинейном движении и характеризует изменение направления скорости.

В какие моменты времени нормальное ускорение в криволинейном движении может обратиться в нуль?

Нормальное ускорение в данный момент времени может быть равно нулю в том случае, когда в данный момент скорость точки обращается в нуль (точка меняет направление движения), или, когда движущаяся точка находится в точке перегиба своей траектории .

В какие моменты времени касательное ускорение в неравномерном движении может обратиться в нуль?

Если в данный момент времени , то в этот момент величина скорости достигает максимума или минимума.

Если в течение некоторого промежутка времени, то на этом интервале времени численная величина скорости постоянна и движение является равномерным криволинейным, а ускорение направлено по главной нормали.

Чем отличается график пути от графика движения точки?

Графиком движения точки называется график зависимости её дуговой координаты от времени .

Путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени, представляет собой сумму абсолютных значений элементарных перемещений за этот промежуток времени, т. е. линия этого графика непрерывно поднимается вверх независимо от направления движения.

Как по графику движения определить алгебраическую величину скорости точки?

Для определения скорости точки в любой момент времени следует провести касательную к графику движения в соответствующей точке, определить угол наклона этой касательной к оси и определить скорость

.

Как по графику скорости определить алгебраическую величину касательного ускорения точки?

Для определения касательного ускорения точки следует провести касательную к графику скорости в соответствующей точке и найти угол наклона этой касательной к оси . Тангенс угла определяет алгебраическую величину касательного ускорения:

.

В каком случае полное ускорение точки в течение некоторого промежутка времени может быть равно нулю.

Полное ускорение может быть равно нулю , когда точка движется относительно выбранной системы отсчёта равномерно и прямолинейно.

Назовите основные виды движения твёрдого тела.

Различают пять видов движения твёрдого тела: поступательное, вращательное, плоскопараллельное (плоское), сферическое и общий случай движения твёрдого тела.

Какое движение твёрдого тела называется поступательным?

Поступательным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, движется параллельно самой себе.

Все точки твёрдого тела, движущегося поступательно, описывают тождественные и параллельные между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Какое движение твёрдого тела называется вращательным?

Вращательным называется такое движение твёрдого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на прямой, называемой осью вращения.

При этом все остальные точки движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Как определяется положение вращающегося тел?

Положение вращающегося тела в любой момент времени определяется углом поворота , являющегося функцией времени .

.

Это уравнение представляет собой уравнение вращательного движения тела.

Какая величина называется угловой скоростью?

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени, называется угловой скоростью тела

.

Какая величина называется угловым ускорением?

Алгебраическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела

.

Какое вращение называется равномерным?

Если во всё время движения , то вращение называется равномерным.

Какое вращение называется равнопеременным?

Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно , называют равнопеременным вращением. При этом если абсолютная величина угловой скорости увеличивается, вращение называют равноускоренным, а если уменьшается — равнозамедленным

.

Каким образом характеризуется вращение твёрдого тела векторами и ?

Состояние движения вращающегося твёрдого тела в данный момент характеризуется вектором , направленным по оси вращения в ту сторону, откуда вращение представляется происходящим против часовой стрелки.

Угловое ускорение вращающегося твёрдого тела можно изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно, и противоположно , когда вращение является замедленным.

Как определяется скорость точки вращающегося тела?

Модуль вращательной скорости точки твёрдого тела равен произведению кратчайшего расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость тела:

.

Вектор вращательной скорости направлен перпендикулярно радиусу в сторону вращения.

Как определяется вектор скорости при помощи формулы Эйлера?

Вращательная скорость точки равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки относительно оси вращения:

.

Как определяются проекции скорости точки на оси координат по формулам Эйлера, если осью вращения является ось ?

, , ,

где - координаты точки.

Как определяется ускорение точки вращающегося твёрдого тела?

Ускорение точки вращающегося твёрдого тела равно геометрической сумме нормального и касательного ускорений:

.

Как определяются величины нормального и касательного ускорений точки вращающегося тела?

Модуль нормального ускорения равен произведению кратчайшего расстояния (радиуса) от точки до оси вращения на квадрат полной угловой скорости тела:

.

Модуль касательного ускорения равен произведению кратчайшего расстояния (радиуса) от точки до оси вращения на абсолютное значение углового ускорения тела:

.

Как определяется величина полного ускорения точки вращающегося твёрдого тела?

Модуль полного ускорения точки определяется по формуле:

.

Направление определяется углом , составленным полным ускорением с радиусом окружности, тангенс которого:

.

При равномерном вращении :

и .

В этом случае ускорение направлено по радиусу к центру окружности, описываемой точкой.

Как определяются векторы касательного и нормального ускорений?

Касательное ускорение точки вращающегося твёрдого тела равно векторному произведению вектора углового ускорения тела на радиус-вектор этой точки относительно оси вращения:

.

Нормальное ускорение точки вращающегося твёрдого тела равно векторному произведению вектора угловой скорости тела на вращательную скорость этой точки:

.

Как вычисляются проекции ускорения точки тела, вращающегося вокруг оси ?

Какое движение твёрдого тела называется плоским?

Плоскопараллельным (или плоским) движением твёрдого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся параллельно неподвижной (основной) плоскости.

Назовите основные виды движения плоской фигуры.

Положение плоской фигуры определяется тремя параметрами: координатами полюса , и углом поворота относительно полюса .

Основными видами движения плоской фигуры являются поступательное движение вместе с полюсом и вращательное движение относительно полюса. Причём, поступательное движение зависит от выбора полюса, а вращательное от выбора полюса не зависит.

Как определяется скорость любой точки плоской фигуры при разложения плоского движения на поступательное и вращательное?

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки относительно полюса :

.

Вектор перпендикулярен прямой ( ), соединяющей точку с полюсом .

Скорость точки изображается диагональю параллелограмма, построенного при точке на скорости полюса, перенесённой в точку, и вращательной скорости точки вокруг полюса.

Назовите следствия из теоремы о скоростях точек плоской фигуры.

Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на прямую их соединяющую равны между собой.

Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками.

Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром скоростей?

Точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Мгновенный центр скоростей плоской фигуры находится на перпендикуляре к направлению скорости точки , на расстоянии от точки, равном .

Как определяются скорости точек плоской фигуры при помощи мгновенного центра скоростей?

Скорость любой точки плоской фигуры в данный момент времени представляет собой вращательную скорость этой точки вокруг мгновенного центра скоростей:

, ,

т. е. скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению мгновенной угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с мгновенным центром скоростей, и направлена перпендикулярно этому отрезку в сторону вращения фигуры.

Модули скоростей точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей:

.

Сформулируйте теорему Шаля.

Плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра.

Предельным положением центра поворота является точка неподвижной плоскости, с которой в данный момент совпадает мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Эта точка называется мгновенным центром вращения фигуры.

Что представляет собой неподвижная и подвижная центроиды и что происходит с центрами при действительном движении плоской фигуры?

Кривая, представляющая геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой.

Кривая, представляющая геометрическое место мгновенных центров скоростей, неизменно связанная с подвижной плоской фигурой, называется подвижной центроидой.

При действительном движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде (теорема Пуансо).

Как определяется ускорение любой точки плоской фигуры?

Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении вокруг полюса.

где , .

Ускорение точки плоской фигуры определяется путём построения многоугольника ускорений.

Назовите следствия теоремы об ускорениях точек плоской фигуры.

Следствие 1: Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проведённую из произвольного полюса через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось.

Следствие 2: Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между этими точками.

Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром ускорений, и может ли мгновенный центр ускорений совпадать с мгновенным центром скоростей?

Точка , ускорение которой в данный момент равно нулю, называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Мгновенный центр скоростей и мгновенный центр ускорений являются различными точками плоской фигуры.

Перечислите известные вам способы определения положения мгновенного центра ускорений.

а) По условию задачи известна точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю. Эта точка является мгновенным центром ускорений.

б) Известны модуль и направление ускорения точки плоской фигуры, алгебраические величины угловой скорости и углового ускорения .

МЦУ находится на отрезке, составляющем с вектором ускорения угол , который отложен от вектора ускорения точки в сторону на расстоянии от точки , равном:

.

в) Известны модули и направления ускорений двух точек и плоской фигуры.

Примем точку за полюс, тогда:

.

Построим при точке параллелограмм ускорений по заданной диагонали и одной из сторон . Другая сторона параллелограмма определит ускорение . Ускорение составляет угол с отрезком . Отложим угол от ускорений точек и по направлению . Точка пересечения полупрямых и будет мгновенным центром ускорений.

Как определяются ускорения точек плоской фигуры через мгновенный центр ускорений?