Динамика материальной точки

Краткая теория

· Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки):

, или ,

где – векторная сумма сил, действующих на материальную точку (равнодействующая всех сил); т – масса; – ускорение; N – число сил, действующих на точку.

В проекциях на координатные оси:

; , ,

или

; , ,

где под знаком суммы стоят проекции сил , на соответствующие оси.

· Импульс тела массой , движущегося со скоростью :

.

При скоростях , сравнимых со скоростью света в вакууме ( ), необходимо использовать формулы для релятивистского импульса:

или ,

где Е – полная энергия частицы, равная сумме энергии покоя и кинетической энергии: . Полная энергия частицы и её импульс связаны следующей релятивистской формулой:

.

· Импульс силы:

,

где – промежуток времени, в течение которого действовала сила .

· Второй закон Ньютона в импульсной форме:

, или

где – равнодействующая, – импульс тела, – изменение импульса за промежуток времени действия силы.

· Третий закон Ньютона. Тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными противоположно вдоль одной прямой:

,

где – сила, с которой первое тело действует на второе, а – второе на первое.

· Центр масс. Радиус-вектор центра масс равен

,

где – радиус-вектор точечной массы , – масса всей системы (тела).

Координаты центра масс системы материальных точек:

, , ,

где x_i, y_i;, z_i – координаты i-й материальной точки.

Закон всемирного тяготения

,

где γ – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r – расстояние между ними.

Сила притяжения тела массой m к Земле (или другому небесному телу) массой M радиусом R на высоте h над поверхностью (сила тяжести):

.

Здесь γ – гравитационная постоянная, g – ускорение свободного падения на высоте h: .

Сила тяжести на поверхности Земли:

,

где – ускорение свободного падения

Вес тела, движущегося с ускорением :

,

где m – масса тела. Если ускорение тела направлено вертикально вверх, то вес ; а если вертикально вниз, то .

Сила трения скольжения:

,

где – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

Сила упругости (закон Гука):

,

где k – коэффициент упругости (коэффициент жесткости); – абсолютная деформация.

Относительная продольная деформация (или просто ) – это изменение длины тела по отношению к первоначальной длине (рис.2.1):

.

Механическое напряжение (нормальное механическое напряжение) σ – это сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела (сила приложена перпендикулярно сечению ):

.

Закон Гука в локальной (дифференциальной) форме:

,

где – относительная деформация; σ – механическое напряжение; – модуль Юнга материала.

Давление – это сила F, приходящаяся на единицу площади S:

.

Плотность тела

,

где m – масса тела; V – его объём.

Гидростатическое давление:

,

где ρ – плотность; g – ускорение свободного падения; h – глубина под свободной поверхностью жидкости.

Выталкивающая (Архимедова) сила:

,

где ρ – плотность жидкости (газа); V_погр. – объём погружённой части тела.

Момент силы:

,

где l – плечо силы (кратчайшее расстояние от линии силы до оси вращения).

Условие равновесия твёрдого тела

равнодействующая всех сил равна нулю:

;

сумма моментов всех сил относительно любой оси тоже равна нулю:

.

Примеры решения задач

Пример 2.1.На автомобиль массой 1 тонна во время движения действует сила трения, равная 0.1 силы тяжести. Чему должна быть равна сила тяги автомобиля, чтобы автомобиль двигался: а) равномерно; б) равноускоренно с ускорением 2 м/с²?

Дано: m=1 т=1000 кг Fтр.=0.1.mg а) а=0 б) а=2 м/с2

Найти: Fтяги=?

Решение

На рисунке 2.2 показаны силы, действующие на автомобиль: сила тяжести , сила реакции опоры , сила тяги и сила трения . Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

В проекциях на ось OX:

а) В случае а=0 получим:

F_тяги=F_тр.= 0.1^.mg;

F_тяги=0.1^.1000 кг^.10 м/с²=1000 Н=1 кН.

б) В случае а=2 м/с² получим:

F_тяги= F_тр.+ma_.=0.1^.mg_.+ma_.= m^.(0.1^.g_.+a);

F_тяги=1000 кг^.(0.1^.10 м/с² +2 м/с²)=3000 Н=3 кН.

Ответ: а) F_тяги=1 кН; б) F_тяги=3 кН.

Законы сохранения

Краткая теория

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе полный импульс сохраняется.

Закон сохранения импульса справедлив и в случае, если внешние силы действуют на систему, но компенсируют друг друга:

если , то (или ).

где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Даже если равнодействующая внешних сил не равна нулю, но равна нулю её проекция на какую-либо ось, то проекция полного импульса системы на ту же ось сохраняется:

если , то .

Работа, совершаемая постоянной силой:

,

где – угол между направлениями векторов силы и перемещения .

Работа, совершаемая переменной силой:

,

где интегрирование ведется вдоль траектории от точки 1 с радиус-вектором до точки 2 с радиус-вектором .

Средняя мощность – работа за единицу времени:

,

где ΔА – работа, совершённая за время Δt.

Мгновенная мощность – быстрота совершения работы:

, или .

Коэффициент полезного действия (КПД):

.

Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

, или .

Потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести:

,

где h – высота тела над уровнем, принятым за начало отсчета. Эта формула справедлива при условии , где R – радиус Земли. Если это условие не соблюдается, то

.

Здесь – расстояние до центра планеты.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела:

,

где k – жёсткость (коэффициент упругости), x=Δl – абсолютная деформация (удлинение) тела.

Закон сохранения энергии. Полная энергия замкнутой системы сохраняется:

если , то , или ,

где Е₁ – начальная полная энергия системы (сумма всех видов энергии: механической, внутренней, электромагнитной и т.д.); Е₂ – конечная полная энергия системы.

Закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, остаётся постоянной:

если , то , или .

При наличии диссипативных сил (силы трения, вязкости, силы неупругой деформации) закон сохранения (изменения) механической энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2:

,

Если есть любые внешние силы:

.

Примеры решения задач

Дано: m1=9.10-3 кг m2=16.10-3 кг α1=α2=α

Найти: υ1=?υ2=? β=?

Пример 3.1.Шарик массой m₁=9 г, движущийся со скоростью , сталкивается с покоящимся шариком массой m₂=16 г. После абсолютно упругого удара шарики разлетаются таким образом, что направления их скоростей составляют одинаковые углы с направлением скорости . Определить скорости и шариков после удара и угол β между векторами скоростей и .

Решение

По закону сохранения импульса (рис.3.1):

.

В проекциях на координатные оси:

OX: (1)

OY: (2)

Из (2) следует:

, (3)

тогда (1) можно записать:

(4)

Удар абсолютно упругий, поэтому сохраняется полная механическая энергия:

(5)

Решая уравнение (5) совместно с (3), найдём скорости υ₁ и υ₂: ;

;

.

Расчёты:

; .

Из (4) выразим cosα:

; .

Тогда β=2α=102⁰.

Ответ: υ₁=4 м/с; υ₂=2.25 м/с; β=102⁰.