Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии

Понятие энергии в релятивистской механике сохраняет тот же смысл, что и в классической механике. Однако требование инвари-антности уравнений релятивистской механики относительно преобра-зований Лоренца приводит к установлению взаимосвязи между энер-гией E и массой т частицы, а также к изменению выражения для ее кинетической энергии К.

Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Изменение кинетической энер-гии материальной точки при элементарном перемещении drr равно

работе, совершаемой силой F , действующей на точку, при этом
перемещении  
d К= dA = Fdrr. (7.8.1)

Воспользуемся релятивистским выражением второго закона Нью-тона (7.7.1), и с учетом drr = υdt получаем



v r   d       r     r       d       r     r    
    m υ           m υ      
dК= Fdr =             dr =                 υdt  
                           
    dt     1 − υ 2           dt 1 − υ2        
          c               c        
                                           
                  r             r                  
                        m υ                
      dК= υd             .         (7.8.2)  
            υ2            
                          1 −                
                          c                
                                                 

С Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru учетом υr d υ=r d υ2 из выражения (7.8.2) получаем

r   m r       r     r   r r     r c )    
υ     m dυ   m0υ(υ d υ      
К = υ d         = υ                       =  
      2       2         3 2    
    1 − υ       1 − υ   1 − υ              
                         
      c         c     c              
                                           

Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru


  m d r   1 − υ2                   r            
  υ   c2                 c )      
r             m0(υ d υ        
= υ                                            
      υ   3 2         υ 3 2      
                       
                         
        c 2                 c 2              
      m0 c 2 d (υ2 c2)         m c2    
  =                         = d            
              υ2 3 2         υ2  
                1 −  
    1 c2                 c  
                                         

Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru

r   m d r   m0 d (υ 2)      
  υ            
= υ             =               =    
    υ   3 2     υ   3 2    
               
                     
    c 2             c2            
  Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru   m c2     . (7.8.3)  
    d К= d        
    υ2  
        1 −      
        c      
                 
                                                     

Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru

Интегрирование уравнения (7.8.3) приводит к выражению

  m c2 + C ,    
К = (7.8.4)  
υ2  
       
  1 c2      

Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru где С – постоянная интегрирования.

Найдем постоянную интегрирования С. Для этого воспользуем-ся условием , что при υ = 0 кинетическая энергия К должна быть тоже равна нулю. С учетом этого из выражения (7.8.4) получаем C = −m0 c2.

Таким образом, релятивистское выражение для кинетической энер-

гии имеет вид



    m c2   − m c      
К =     . (7.8.5)  
       
    υ2        
               
    1 c2            
Величина                
E =   m c2   = mc      
        (7.8.6)  
υ2        
               
    1 c2            

Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru называется полной энергией свободной частицы (при отсутствии внешних полей).

Величина  
E0= m0 c2 (7.8.7)

называется энергией покоя (при υ = 0).

С учетом формул (7.8.6, 7.8.7) выражение для кинетической энергии (7.8.5) можно записать в виде

              К = E − E0 = mc2 − m0 c2.             (7.8.8)  
                            1                          
  При υ << c, с учетом 1 − υ 2 2 = 1 + 1 υ2 +..., получаем выра-  
                        c2         2 c2              
жение для кинетической энергии в классической механике    
  m c2                           1 υ2     m υ2  
К =     − m c   = m c           − 1 = m c     +     − 1 = . (7.8.9)  
                       
    υ2     υ2               2 c        
  1−         1−                            
  c         c                                  
                                                   

Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии - student2.ru Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки ее кинетическая энергия, вычисленная по релятивистской фор-муле (7.8.5), совпадает с выражением (7.8.9) для энергии в классиче-ской механике.

Из соотношения (7.8.6) следует также важный вывод: энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением его релятивистской массы и, наоборот, всякое изменение релятивистской массы сопровождается изменением энергии тела

E = mc2. (7.8.10)


Это утверждение носит название закона взаимосвязи релятивистской массы и энергии.

Наши рекомендации