Закон взаимосвязи массы и энергии.

Динамика поступательного движения материальной точки и твердого тела.

Законы Ньютона. Принцип суперпозиции сил. Основные типы сил и взаимодействий. Механический принцип относительности. Механическая система. Центр масс системы материальных точек и закон его движения.


Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе; Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru – масса системы. Скорость центра масс

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

3.

Механическая работа. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Законы сохранения в механике.


Определение и геометрический смысл работы. Работа силы. Работа силы тяжести и упругой силы. Связь работы с кинетической и потенциальной энергией. Движение точки в центральном поле. Закон сохранения.


Работа

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Связь работы с кинетической и потенциальной энергией.

Связь работы с кинетической энергией
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru= Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru = Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru =
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru .

Связь работы с потенциальной энергией

Потенциальная энергия Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Условие потенциальности силового поля
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru ,

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru оператор набла
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Работа силы упругости, силы тяжести.


Сила упругости
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

силы тяжести
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон сохранения энергии. Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса.

1)Закон сохранения энергии является следствием однородности времени. Время однородное означает, что все законы физики в любые моменты времени одинаковы.

Обозначим потенциальную энергию через Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru , тогда:

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Потенциальная энергия- энергия взаимодействия, мера несвободности движения.

Кинетическая энергия является мерой свободного движения.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - однородное время

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон сохранения импульса.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон сохранения импульса является следствие однородности пространства. Пространство однородное означает, что все точки пространства эквивалентны физически.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Пример. Удар абсолютно упругих и неупругих тел


Абсолютно упругий удар.


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru





Закон сохранения момента импульса.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Пример: Движение Луны вокруг Земли является примером сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса является следствием изотропности пространства. Пространство изотропно означает, что любые направления от данной точки пространства физически эквивалентны.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

С другой стороны Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Т.о.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Движение в центральном поле.

Пример использования закона сохранения энергии и момента импульса. Примером движения в центральном поле, является вращение Земли вокруг солнца, где центром силового поля является Солнце.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Е- константа; U- потенциальная энергия.

М- константа

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

На примере Земли принимаем, что Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

= Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - где р- параметр кривой

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - где – е - эксцентриситет

Отсюда получаем уравнение конического сечения.

4.
4.Момент силы и момент импульса.


Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Момент импульса материальной точки и системы материальных точек. Теорема об изменении и сохранении момента импульса системы.


Момент силы и момент импульса.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
J- момент инерции

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - некоторая постоянная зависящая от формы

вращающегося тела, m- масса тела, r- радиус вращения, Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - табличная величина.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru =1 (точка)

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru = Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru (диск)

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru = Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru (шар)

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru = Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru (стержень )

5.
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Исходя из этих двух уравнений напишем основное уравнение динамики вращательного движения:

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru или

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - основное уравнение динамики вращательного движения.


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
5.
5.Вращательное движение твердого тела.


Угловые скорость и ускорение и их связь с линейной скоростью и ускорением. Момент инерции материальной точки и твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела. Момент инерции стержня. Теорема Штейнера.


Вращение твёрдого тела.

Момент силы. Момент импульса.

Момент инерции.

Рассмотрим любое твёрдое тело, которое вращается вокруг своей оси.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru (угол поворота)

Поворот тела может быть против часовой стрелки и по часовой стрелке.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru >0 против часовой стрелки.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru <0 почасовой стрелки.

2) Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru (угловая скорость), является вектором.


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru из формулы видно, что Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru лежит на оси вращения.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Для абсолютно твёрдых тел величина Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru является постоянной.


3) Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - угловое ускорение
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru направлен по оси вращения.

Если Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - то тело вращается с замедлением.

Если Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - то тело ускоряется.

4) Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru ( квадратные скобки обозначают векторное умножение)

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

5) Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - кинетическая энергия вращ. движения тв.тела.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru -- теорема Штейнера,
6.
6.Механические колебания и волны.


Примеры гармонических колебаний: масса на пружине, физический маятник, математический маятник. Свободное колебание. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс. Сложение колебаний с помощью векторной диаграммы. Понятие волнового процесса. Волновое уравнение. Типы волн. Характеристики волн. Продольный эффект Доплера.


Свободные, затухающие и вынужденные колебания.

Свободные колебания.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Согласно второму закону Ньютона Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

Решение: Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

S1, S2 – корни характеристического уравнения

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Уравнение

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

можно привести к виду:


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Найдём полную энергию колеблющийся точки

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru так как Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Затухающие колебания.

Согласно второму закону Ньютона проекция на ось х:

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - сила сопротивления среды.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Составим характеристическое уравнение:

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Рассмотрим случай слабого сопротивления среды.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - среда со слабым затуханием.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru = A(t) для затухающих колебаний.


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Найдём отношение


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - размерность обратно времени.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

- степень затухания.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

- добротность системы.

2) Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


В данном случае имеют место апериодические колебания ( непериодические) из-за того, что l1, l2 имеют отрицательные знаки, тогда х уменьшается всегда с увеличением t.

Вынужденные колебания.

Для вынужденных колебаний используем второй закон Ньютона в одномерной системе.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - частное решение, неоднородное уравнение.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - комплексное число.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - фаза; Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru - модуль комплексного числа.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Резонанс Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Волновое уравнение. Фазовая и групповая скорости.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru



Уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

или
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
где
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Физический и математический маятники.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Математический маятник

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз a. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) a = mp (m=0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой w и амплитудой Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru , совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол j=arctg Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru . В данном случае имеем дело слинейно поляризованными колебаниями;

2) a = (2m+1) Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru (m=0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окружность. Такие колебания называютсяциркулярно поляризо­ванными колебаниями иликолебаниями, поляризованными по кругу.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.* Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной j).

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

7.

7. Движение в неинерциальных системах отсчета.

Кинематика относительного движения. Силы инерции. Явления, обусловленные неинерциальностью земной системы отсчета.

Движение в неинерциальной системе отсчета.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

V2(t) есть заданная функция времени; она может быть предста­влена как полная производная по t от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выражении может быть опущен.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru (

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


8.
8.Основы релятивистской механики.

Преобразования Галилея и Лоренца. Сокращение длины. Замедление времени, измеряемого движущимися часами. Релятивистская динамика.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Преобразования Галилея.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Преобразования Лоренца.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Сокращение длины.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Замедление времени.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Релятивистский закон сложения скоростей.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru


Основной закон релятивистской динамики

Материальной точки.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru
Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Закон взаимосвязи массы и энергии.


Т=(m-m02


Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

DE=с2Dm.

Закон взаимосвязи массы и энергии. - student2.ru

Е = m0с2 + Т,


Е0=m0с2

Наши рекомендации