Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике.

Для получения релятивистского выражения для кинетической энергии ис­пользуем её связь с работой силы, а силу подставим из релятивистской формы основного закона динамики материальной точки:

к = dА = Fdr = (dР/dt)dr = u×d[(mu/Ö(l –u22)] = u{d(mu)/Ö(l –u22) + mu×dÖ(l –u22)} = u{m×du/Ö(l - u22) + m×u×(u/с2)×du/Ö(l –u22)3} = m×u×du/Ö(l –u22) + m×u3×(du/с2)/Ö(l –u22)3 = [m×u×du - m×u3×(du/с2) + m×u3×(du/с2)]/Ö(l - u22)3 = m×u×du/Ö(l –u22)3 = d[mс2/Ö(l –u22)] Þ
Ек = mс2/Ö(l –u22) + const;

При u = 0, Ек = 0, то есть mс2/Ö(l –u22) + const = 0, откуда const = - mс2 и

Ек = mс2/Ö(l –u22) - mс2 = mс2[(1/Ö(l –u22) – 1] .

При u << с, Ö(l –u22) » 1 - u2/2с2 и Ек » mu2/2 переходит в известное из механики Ньютона выражение, справедливое при малых, дорелятивистских скоростях.

Кинетическая энергия, как энергия движения, предстает в виде разности энергий, одну
из которых естественно назвать полной энергией Е, а другую – Eо = mс2 - энергией покоя:
Ек = Е - Ео.

Е = mс2/Ö(l - u22) - полная энергия тела.

Из взаимосвязи массы m тела с энергией покоя Ео = mс2, следует, что всякое изменение Dm массы тела сопровождается изменением DЕо энергии покоя, так что DЕо = Dm×с2 - закон взаимосвязи массы и энергии (покоя).

Энергия связи системы.

Масса образующейся составной частицы (системы) больше суммы масс ис­ходных частиц, т. к. кинетическая энергия соединяющихся частиц превращается в эквивалентное коли­чество энергии покоя. При обратном же процессе распада неподвижной частицы на составляю­щие её и разлетаю­щиеся в разные стороны частицы сумма масс образовавшихся частиц оказы­вается меньше массы исходной составной частицы на величину, равную сум­марной кинетиче­ской энергии разлетающихся частиц, деленной на с2.

Связь частиц в составе более сложной частицы можно характеризовать энергией связи Есв, численно равной работе, которую нужно затратить, чтобы преодолеть силы связи, разводя частицы на расстояние, где их вза­имодействие убывает до нуля:

Есв = Smiс2 - Мс2, где М - масса системы. Здесь имеет место нарушение свойства аддитивности массы.

Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Для установления взаимосвязи полной энергии с импульсом частицы, возве­дём её
в квадрат и разделим на с2:

Е = mс2/Ö(l –u22) ® Е2 – Е2 u22 = m2с4 или, так как Р = mu/Ö(l –u22) = Еu/с2 Þ

Е2 – Р2с2 = m2с4 = const, или Е22 – Р2 = m2с2 = Inv

Энергия и импульс изменяются при переходе от одной ИСО к другой, но изменяются взаимосогласованно, образуя единую меру движения материи, на­зываемую комбинацией /тензором/ энергии - импульса. Подобно кинематическо­му инварианту - интервалу, объединив­шему в себе длину и длительность, тензор энергии - импульса образует динамический инвари­ант, объединяющий меры движения, сохранение которых тесно связано со свойствами симмет­рии пространства и времени – их однородностью.

Закон взаимосвязи массы и энергии

Полную энергию свободного тела можно определить как произведение его релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме:

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

27.Уравнение свободных колебаний без трения: пружинный маятник. Его решения. Вектор-амплитуда.

Пружинный маятник.

Колебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).
Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru ,где ах – ускорение, т - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:

1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.

Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости об­ращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

Выражение для циклической частоты имеет вид:
Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru
,

где w - циклическая частота, k - жесткость пружины, т - масса.

Эта формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой т.

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

где Fc — сила сопротивления, Fy — сила упругости

Fc = − cv, Fy = − kx, то есть

ma + cv + kx = 0

или в дифференциальной форме

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

где k — коэффициент упругости в законе Гука, a — ускорение горизонтального движения грузика.

Для упрощения вводятся следующие обозначения: Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

Сделав замену x = eλt, получают характеристическое уравнение

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

Корни, которого вычисляются по следующей формуле

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависисимости от величины коэффицинта затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность

Если Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница периодичности

Если Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru , два действительных корня совпадают Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru , и решением уравнения является:

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

В данном случае может иметь место временный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание

Если Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

Где Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c1 и c2 в каждом из случаев определяются из начальных условий: Закон взаимосвязи массы и энергии. Кинетическая энергия в релятивистской динамике. - student2.ru

Наши рекомендации