Силовые линии. Поток вектора напряженности

Для наглядного описания электрического поля используют силовые линии (линии напряженности). Силовой линией называют линию, направление касательной в каждой точке которой совпадает с направлениям . (Рис.13.3). Условились так проводить силовые линии, чтобы их густота - число линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной линиям, была численно равна значению в данной области пространства. Силовые линии начинаются и заканчи­ваются на электрических зарядах либо уходят в бесконечность (Рис.

13.4).

Естественно предположить, что напряженность электрического поля пропорциональна заряду, который его создает. Чтобы установить эту закономерность, вводят понятие потока вектора напряженности . Потоком вектора напряженности через площадь называют полное число силовых линий, пронизывающих данную площадь перпендикулярно ей.

Если поле однородно, а поверхность плоская, то поток равен (Рис. 13.5)

(13.11)

где - проекция на нормаль к поверхности.

В общем случае: (13.12)

Теорема Гаусса.

Основное соотношение между источником и полем можно выразить с помощью потока вектора напряженности через замкнутую поверхность, охватывающую данный заряд. Этот поток является мерой полного воздействия заряда на пространство, окружающее его. Вычислим для простоты поток вектора поля точечного заряда через сферическую поверхность, центр которой совпадает с положением заряда.

По формуле (13.12) имеем . Т.к. для шаровой поверхности , то . Используя формулу напряженности (13.7) и (13.3), находим:

(13.13)

Этот результат обобщается на произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд : поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряд , не зависит от формы поверхности и равен. Для системы зарядов в силу принципа суперпозиции (13.10):

(13.14)

Итак, полный поток вектора напряженности электрического поля, выходящий из замкнутой поверхности, пропорционален алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью (теорема Гаусса).

Если внутри поверхности зарядов нет, то из теоремы следует, что поток силовых линий через нее равен нулю.

Теорема Гаусса позволяет вычислять напряженности полей, создаваемые зараженными телами простой формы.

Вычислим для примера напряженность поля бесконечно заряженной плоскости о поверхностной плотностью заряда . Из соображений симметрии ясно, что вектор напряженности поля должен быть направлен перпендикулярно плоскости (Рис.13.6).

Пусть плоскость пересечена поверхностью прямого параллелепипеда с площадью основания . Напряженность поля будет перпендикулярна к основаниям и параллельна остальным граням. Поток через основания в силу теоремы Гаусса равен , откуда напряженность поля заряженной плоскости равна:

(13.15)

Для пространства между двумя разноименно заряженными плоскостями:

(13.16)