Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса

Предположим, что имеется однородное электростатическое поле, в котором расположен плоский контур площадью S (рис.1.9). Под потоком Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru вектора Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru , пронизывающим площадку S, понимают произведение напряженности поля на площадь контура и на косинус угла Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru между вектором напряженности и нормалью к контуру. Для однородного поля:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru .

Поток может принимать положительное значение, если угол Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru острый, и отрицательное, если угол Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru тупой. При Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru поток равен нулю. Учитывая, что Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru , где Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru - проекция вектора напряженности на направление нормали, Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru можно определить выражением:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru . (1.17)

Если поле неоднородное, а контур не плоский, то для определения потока необходимо контур мысленно разделить на малые элементы площади. В пределах каждой такой площади поле можно принимать за однородное, а сам элемент площади за плоский. Поток, связанный с одним из элементов, Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru , а со всей поверхностью:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru (1.18)

Выражение (1.18) является наиболее общим определением потока вектора напряженности поля. Кроме того, поток может быть определен как общее число силовых линий, пронизывающих поверхность.

Определим поток через сферическую поверхность Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru , в центре которой расположен точечный заряд Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru (рис.1.10).

    Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru
Рис.1.9. К определению потока вектора напряженности Рис.1.10. К выводу теоремы Гаусса

В силу центральной симметрии напряженность поля в каждой точке поверхности одинакова по модулю и может быть определена по формуле (1.4), тогда выражение (1.17), учитывая, что Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru , примет вид:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru .

Можно сделать выводы:

- поток вектора Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru не зависит от радиуса сферы;

- при перемещении заряда внутри сферы поток вектора Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru не изменяется, так как общее число линий напряженности поля, пересекающих данную поверхность, остается прежним. По этой же причине при замене сферической поверхности на любую произвольную замкнутую поверхность поток не меняется;

- если поверхность Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru (см.рис.1.10) не охватывает заряд, то поток вектора Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru будет равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий выходящих.

Если внутри замкнутой поверхности расположено N зарядов, то поток Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru от произвольного заряда Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru :

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru , (1.19),

где Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru – значение k-го заряда.

Просуммировав значение потоков в формуле (1.18) получим:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru . (1.20)

Так как суммарный поток Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru через замкнутую поверхность определяется выражением (1.17), то, приравняв правые части формул (1.17) и (1.20),получим:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru . (1.21)

Полученное выражение (1.21) называется теоремой Гаусса. Согласно этой теореме поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через замкнутую поверхность любой формы равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленных на Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru .

Применение теоремы Гаусса для произвольного распределения зарядов может столкнуться с математическими трудностями, однако в случаях, обладающих симметрией, многие задачи решаются просто.

При решении подобных задач используют понятие объемной плотности заряда Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru , определяемого по формуле:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru .

При равномерном распределении заряда Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru по объему Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru :

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru .

Кроме того, используют понятия Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru поверхностной и линейной Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru плотностей зарядов, определяемых соответственно по формулам:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru ; (1.22)

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru . (1.23)

При равномерном распределении зарядов:

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru ; (1.24)

Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса - student2.ru . (1.25)

Зная плотности, можно определить величину зарядов, заключенных внутри поверхностей.

Теорема Гаусса позволяет решать две задачи: 1) определение распределения напряженности поля при известном распределении зарядов и 2) определение распределения зарядов по заданному распределению напряженности.

Применение теоремы Гаусса

Наши рекомендации