Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела

Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси АВ. Все остальные точки тела движутся по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных оси АВ, с центрами на этой оси.

Кинематическими характеристиками вращения являются вектор элементарного поворота , угловая скорость и угловое ускорение . Вектор элементарного поворотаявляется мерой перемещения тела при вращательном движении за малый промежуток времени . По модулю он равен углу поворота тела вокруг оси за время и направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта: из конца вектора поворот виден происходящим против хода часовой стрелки.

Быстроту и направление вращения характеризует угловая скорость, равная отношению вектора элементарного поворота тела к его длительности:

. (3.1)

Вектор совпадает по направлению с вектором .

Изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением:

. (3.2)

Направление вектора совпадает с направлением приращения вектора : при ускоренном вращении векторы и сонаправлены, при замедленном вращении вектор направлен в сторону, противоположную вектору .

Моментом силы относительно неподвижной точкиО называется физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора, проведенного из точки О в точку приложения силы, на саму эту силу:

. (3.3)

Вектор направлен перпендикулярно плоскости векторов и по правилу правого винта (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Модуль момента силы

, (3.4)

где – угол между векторами и ; – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы (плечо силы).

Моментом силы относительно неподвижной осиназывается проекция на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки рассматриваемой оси:

. (3.5)

При вращении тела вокруг неподвижной оси момент относительно этой оси создает только одна составляющая действующей на него силы, а именно касательная к траектории точки ее приложения. Тогда

, (3.6)

где – расстояние до оси точки приложения силы, – проекция силы на направление касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы.

Мерой инертности тела при вращательном движении является его момент инерции. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния до оси:

.

Момент инерции механической системы относительно оси равен сумме моментов инерции всех точек системы:

.

Строго говоря, тело нужно рассматривать как механическую систему с непрерывным распределением массы по объему тела. Тогда момент инерции тела относительно некоторой оси определяется соотношением

, (3.7)

где – плотность тела; – масса малого элемента объема , отстоящего на расстоянии от оси вращения. Отсюда следует, что момент инерции тела зависит от материала, формы и размеров тела, а также от расположения тела относительно оси.

Уравнение динамики твердого тела относительно неподвижной оси имеет вид

, (3.8)

где – суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения; – угловое ускорение (проекция углового ускорения на ось Z).